湘教版（2019）必修 第一册2.2 从函数观点看一元二次方程课后练习题

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2.2从函数观点看一元二次方程同步练习

湘教版（2019）高中数学必修第一册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知函数的最小值为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为   

A.  B.  C.  D.

2. 定义：若函数在区间上存在，满足，，则称函数是在区间上的一个双中值函数已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是

A.  B.  C.  D.

3. 已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是   

A.  B.
C.  D.

4. 已知，，，，若函数的两个零点是，，则的最小值是

A.  B.  C.  D.

5. 已知，函数，实数，满足，，若，，则   

A.  B.
C.  D. 与的大小关系不能确定

6. 定义：如果函数在区间上存在，满足，，则称函数是在区间上的一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是   

A.  B.  C.  D.

7. 已知函数，且，，集合，则 

A. ，都有 B. ，都有
C. ，使得 D. ，使得

8. 已知一元二次方程有两个实数根，且，则 的值为    

A.  B.  C.  D.

9. 设，已知平面向量，满足：，且，向量，若存在两个不同的实数，使得，则实数   

A. 有最大值为，最小值为 B. 无最大值，最小值为
C. 有最大值为，无最小值 D. 无最大值，最小值为

10. 关于的方程有两个实数根，，且，那么的值为

A.  B.  C. 或 D. 或

11. 已知方程，在上有两个不同的解，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

12. 若不等式的解集为，则二次函数在区间上的最大值、最小值分别为   

A. ， B. ， C. ， D. ，

二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）

13. 若实数，为方程的两根，则实数的取值范围是          ，的最小值是          ．
14. 已知方程的一个根比另一个根小，则      ．      ．
15. 设，，当时，的最小值是          ；若是的最小值，则的取值范围为          ．
16. 已知不等式的解集为，则实数          ；函数的所有零点之和等于          ．
17. 已知，，三点，点在圆上运动，则的最大值为          最小值为          ．

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

18. 已知函数

若，求在上的最大值和最小值；

若关于的方程在上有两个不相等实根，求实数的取值范围．






 

19. 关于的方程，当为何值时：
    方程一根大于，另一根小于？
    方程一根在内，另一根在内？
    方程的两个根都大于？
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知函数．

作出函数的图象；

写出函数的单调区间

试讨论方程的解的情况．






 

21.  已知函数，且．

若在区间上为单调函数，求实数的取值范围；

若在区间上有零点，求实数的取值范围；

若在上的最大值是，求实数的的值．






 

22. 已知全集 ，集合，，满足：，，其中均为不等于零的实数，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
23. 对于函数，，如果存在实数，，使得函数，那么我们称为，的“函数”．

已知，，试判断是否为，的“函数”若是，请求出实数，的值；若不是，请说明理由；

已知，，为，的“函数”且，若关于的方程有解，求实数的取值范围；

在后续学习中，我们将学习如下重要结论：“对于任意的正实数，，都有，当且仅当时，式中的等号成立”我们将这个结论称为“基本不等式”请利用“基本不等式”，解决下面的问题：已知，，为，的“函数”其中，，的定义域，当且仅当时取得最小值若对任意正实数，，且，不等式恒成立，求实数的最大值．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的最值和不等式和方程根的关系，根据题意可知，把不等式解的问题转化为方程根的问题，利用韦达定理求解即可．
【解答】
解：因为函数的最小值为，
，

的解集为，的根为，，
即的根为，，
，
，即
故选D．  

2.【答案】
 

【解析】解：函数，，
函数是区间上的双中值函数，
区间上存在，，
满足，即方程在区间有两个解，，
令，
对称轴，
则
解得．
实数的取值范围是
故选：．
根据题目给出的定义得到，即方程在区间有两个解，，利用二次函数的性质能求出的取值范围．
本题考查导数的计算以及二次函数的应用，是中档题．
 

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查利用二次方程根的分布求参数，一般分析对应二次函数图象的开口方向判别式对称轴以及端点函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题．
利用二次方程根的分布，列出式子，求出范围即可．
【解答】
解：
设，则在区间内有两个根，
由题意
解得．
因此，实数的取值范围是．
故选：．  

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查最值问题的求解，结合根与系数之间的关系，利用基本不等式的性质进行转化是解决本题的关键，是中档题．
根据根与系数之间的关系，结合基本不等式进行转化求解即可．
【解答】
解：函数的两个零点是，，
的两个根是，，
则，，，

，
当且仅当时等号成立，
即的最小值是，
故选：．  

5.【答案】
 

【解析】

【试题解析】
【分析】
本题考查二次函数的零点和方程根的关系，属于基础题．
先分析方程的两根的符号，从而得出实数之间的关系，即可求解．
【解答】
解：由题意，，
设，为方程的两根，
由韦达定理定理得
，
又且，

则，
故选B．  

6.【答案】
 

【解析】解：函数，，
函数是区间上的双中值函数，
区间上存在，，
满足，即方程在区间有两个解，，
令，
对称轴，
则
解得．
实数的取值范围是
故选：．
根据题目给出的定义得到，即方程在区间有两个解，，利用二次函数的性质能求出的取值范围．
本题考查导数的计算以及二次函数的应用，是中档题．
 

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查二次函数的性质，一元二次方程根的分布与系数的关系，属于中档题．
由题意可得 ，且，，为的一个零点，再由根与系数的关系可得，另一零点为可得，，有恒成立，从而得出结论．
【解答】
解：函数，且，，
故有，且．
，即，且，即，
因此有，
又，故为的一个零点．
由根与系数的关系可得，另一零点为，
所以有：．
所以，所以有恒成立，
故选A．  

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于基础题．

令，则由题意可得即可．

【解答】
解：一元二次方程有两个实数根，，

且，
令，

则由题意可得解得，又，

可得．
故选A．

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查向量的运算，二次函数的性质，难度适中．
由向量的运算得，建立坐标系，设坐标得方程的根的情况，转换为二次函数的性质得解．
【解答】

解：由题设，解得，
建立直角坐标系，令，
则，
，存在两个不同的实数满足方程．
开口向上，对称轴，
只需满足
解得：．
故选B．

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，属于基础题．
根据方程的根的判别式，得出的取值范围，然后根据根与系数的关系可得，结合即可求出答案．
【解答】
解：关于的方程有两个实数根，
，
解得：；
关于的方程有两个实数根，，
，，
，即，
解得：或舍去
故选：．  

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查一元二次方程根的分布，基本不等式求最值．
设方程，在上有两个不同的解分别为，，，可得，再结合基本不等式以及不等式的性质求得范围．
【解答】
解：设方程，在上有两个不同的解分别为，，，
则，，
，
因为，所以等号不能取得，
又因为，所以，
所以的取值范围是，
故选C．  

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查一元二次不等式的解集和系数的关系，考查了二次函数在闭区间上的最值，属于中档题．
根据一元二次不等式的解集求出，的值，再根据二次函数的性质求解即可．
【解答】
解：若不等式的解集为，
则，是方程的根，
所以
所以，
函数的对称轴为，
所以当时，函数取得最小值；
当时，函数取得最大值，
故选B．  

13.【答案】或

【解析】

【分析】

本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，以及二次函数的性质，属于中档题．

【解答】

解：由题意可知，解得或，
实数的取值范围是或， 
由根与系数的关系得，， 
令


 
又或，
当时，取得最小值为．

14.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查二次函数，考查了根与系数的关系，属于基础题．
由方程的一个根比另一个根小，即可得到  ，  ，，解此方程组，即可得到答案．
【解答】
解：由得，
由题意，即  ，
又  ，由得，，
，．
故答案为； ．  

15.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查二次函数的性质，属于基础题．
由二次函数的性质求二次函数的最值，由最值求参数范围即可．

【解答】

解：当时，，
在上单调递增，

的对称轴为，
由，是的最小值，

．
故答案为；．

16.【答案】

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的性质，考查韦达定理，是一道基础题．
由题意可知，是方程的两个实根，利用韦达定理即可求得值，从而求出的值，得到答案．
【解答】
解：等式的解集为
，是方程的两个实根，
则，
解得，
而两根之和，解得：，
故函数的所有零点之和为：
，  

17.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查直线的一般式方程与两点间距离公式的应用，具体涉及到直线方程与圆的简单性质，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
由点，，，设，则，由点在圆上运动，知，由此能求出的最大值与最小值．
【解答】
解：设，则


因为点在圆上运动，所以
所以
因为，所以，
即的最大值为最小值为．  

18.【答案】解：若，，
其中，则由图象可知函数在上单调递减，在上单调递增，
，；
函数在上的最大值、最小值为；
关于的方程在上有两个不相等实根，
转化为在有两个不相等实根，
则
得到．
故实数的取值范围
 

【解析】将的值代入，对二次函数配方，找到对称轴，结合所给区间，求出函数的最大值和最小值；
化简方程，根据方程在上有两个不相等实根，列出关于的不等式组，求出实数的取值范围．
本题考查了二次函数的图象和最值的性质，考查了配方法、韦达定理根与系数的关系，属于中档题．
 

19.【答案】解：设，若关于的方程一根大于，另一根小于，
则有，求得．
若关于的方程一根在内，另一根在内，
则有，由此求得．
若方程的两个根都大于，因为的图象对称轴为，
则有，求得．
 

【解析】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．
设，由，求得的范围．
由，求得的范围． 
由，求得的范围．
 

20.【答案】解：先作出的图象，

然后将其在轴下方的部分翻折到轴上方，

原轴上方的图象及其翻折上来的图像便是的图象．

由图象可知，函数的单调递减区间为和，单调递增区间为和．

由图象可知，当时，原方程无解；

当或时，原方程有两解；

当时，原方程有四个解；

当时，原方程有三个解．

【解析】本题考查函数的图象的作法，解决问题的关键是掌握二次函数图象以及图象的翻折变换；
先作出的图象，然后由图象的翻折变换可得的图象；
由函数图象可得函数的单调区间；

原方程的解即为函数图象和的图象的交点横坐标，结合图象分类讨论可得答案．

21.【答案】解：由题意，是开口向下，对称轴为直线的二次函数，

又在区间上为单调函数，

当在区间上为单调增函数时，只需；

当在区间上为单调减函数时，只需；  

综上，实数的取值范围是或； 

由，得        

又在区间上有零点，且的一个零点是，

所以只需；

，对称轴为．

当时，在上单调递减，

所以，则；

当时，在上单调递增，在上单调递减，

所以，则或舍去； 

当时，在上单调递增，

所以，则舍去；

综上：或．

【解析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，函数的零点问题，二次函数的单调性以及最值问题，属于中档题．
由题意可得函数对称轴为直线，又在区间上为单调函数，由此可求出的取值范围；
由可得，由在区间上有零点，结合二次函数的图象和性质，可得，解得实数的取值范围；
根据区间和对称轴的关系，对分类讨论即可求解．
 

22.【答案】解：因为，

所以，

设，则，否则，与题设矛盾．

由，两边同除以，

得，从而B.

由，知存在，使得，且，得或．

由，知或．

若，则，得．

同理，若，则，

得．

综上，或．

【解析】本题考查集合的基本运算，考查了二次函数的性质及方程的根与系数的关系，考查分类讨论的思想，是中档题．
条件是说集合、有相同的元素，条件是说但，、是两个方程的解集，方程和的根的关系的确定是该题的突破口，求、的值．
 

23.【答案】解：设．
所以，整理可得．
所以解得
所以，
即为，的“函数”．
因为为，的“函数”且，，
所以．
因为关于的方程有解，所以有解．
令，，所以在有解．
当时，
即解得
当时，
此时，，所以原方程有解，符合题意所以．
当时，
因为恒成立，
所以方程必有一个正根和一个负根，所以原方程有解．
所以．
综上所述，实数的取值范围为
为，的“函数”且，，所以．
由基本不等式可知当且仅当时取“”．
所以解得所以．
所以．
由基本不等式得，
所以当且仅当时取“”．
，
所以的最大值为．
 

【解析】本题考查函数与方程的综合应用，考查基本不等式，二次函数性质的应用，考查转化能力，属于难题．
由题意整理可得利用函数”定义求出答案．
方程有解，转化为有解令，，，等价转化为在有解分情况讨论求出答案．
利用不等式求出得到利用利用基本不等式求出，得到最大值．