人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示优秀同步训练题

1.3.2空间运算的坐标表示同步练习人教   A版（2019）高中数学选择性必修第一册

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知空间三点，，若，且，则点P的坐标为   

A.  B.
C. 或 D. 或

2. 已知的三个顶点为3，，，5，，则BC边上的中线长为   

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

3. 如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，，则等于

A.
B. 0，
C.
D. 0，

4. 在空间直角坐标系中，已知点，向量，则线段AB的中点坐标为

A.  B. 6， C. 4， D. 5，

5. 若，0，，2，，则的值为   

A. 4 B. 15 C. 7 D. 3

6. 已知向量，，且与互相垂直，则    

A.  B.  C.  D.

7. 若向量，，且与的夹角的余弦值为，则     

A. 2 B.  C. 或 D. 2或

8. 已知，，若，则点D的坐标为   

A.  B.  C.  D.

9. 若，，，则的值为   

A.  B. 5 C. 7 D. 36

10. 已知2，关于xOz平面的对称点为，关于z轴的对称点为，则等于     

A. 8 B. 12 C. 16 D. 19

11. 已知向量1，，y，，且，则

A.  B.  C. 8 D. 12

12. 已知空间向量0，，1，，2，且，则向量与的夹角的余弦值为   

A.  B.  C.  D.

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. ，0，，则，的夹角为          ．
14. 已知点，P为线段AB上一点，且满足条件，则P点坐标为          ．
15. 在正四棱柱中，，，动点P，Q分别在线段，AC上，则线段PQ长度的最小值是          ．
    
    
     

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

16. 已知空间向量分别是OA，OB的方向向量，则            ；向量与的夹角为            ．
17. 在空间直角坐标系中，已知，则          ；M关于N的对称点坐标为          ．
18. 已知向量，，若，则          ，若，则          。

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 已知向量．

Ⅰ当时，若向量与垂直，求实数x和k的值

Ⅱ若向量与向量共面，求实数x的值．






 

20. 已知空间中三点0，，，0，，设，

若，且，求向量

已知向量与互相垂直，求k的值

求的面积．






 

21. 已知正方体的棱长为2，E，F分别为棱，DC的中点，如图所示建立空间直角坐标系．
    
    写出各顶点的坐标；
    写出向量，，的坐标．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知：4，，y，，，，，求：
    ，，；
    与所成角的余弦值．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知4，，y，，， ，，求：
    ，，；
    与夹角的余弦值．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了空间向量的坐标的运算，属于中档题．
根据 ，可设易知，则由建立方程，解出，求出设点P的坐标为y，，由，得到方程组，这样求出P的坐标．

【解答】

解：，可设．
易知，则．
又，
，解得，
或．
设点P的坐标为y，，
则，
或
解得或
故点P的坐标为或2，．
故选C．

2.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查空间向量的模，是基础题．
求出BC边上中点D的坐标，即可得到的坐标，即可得出答案．

【解答】

解：设BC边的中点为D，
的三个顶点为3，，，5，，
的中点D的坐标为，
则，
所以．
故选B．
 

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】

求出点B，E的坐标，进而得到向量的坐标．
本题考查了正方体的性质、空间直角坐标系、空间向量的坐标运算，属于基础题．

【解答】

解：正方体的棱长为1，，
1，，，
1，．
故选：C．

4.【答案】C
 

【解析】

【分析】

根据空间向量的坐标表示，求出点B的坐标，再求出线段AB的中点坐标．
本题考查了空间向量的坐标表示与线段中点坐标公式，是基础题．

【解答】

解：空间直角坐标系中，点，所以，
又向量，且，
所以9，，即点9，；
所以线段AB的中点坐标为，即4，．
故选：C．

5.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查空间向量的坐标运算以及空间向量的数量积，属于基础题．
先计算，然后与进行数量积运算．

【解答】

解：0，，2，，
2，，
，
．
故选D．

6.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了空间向量的坐标运算与数量积的应用问题，是基础题目．
根据与互相垂直，，列出方程求出k的值．

【解答】

解：向量，，，
又因为与互相垂直，
，即，解得．
故选B．

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查空间向量的数量积运算，属于基础题．
用向量的数量积公式建立方程求．

【解答】

解：．
解得或．
故选C．

8.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了向量运算的坐标表示，属于基础题．
设点D为y，，由，可得解出x，y，z即可．

【解答】

解：设点D为y，，又1，，
所以，


即
D点坐标，
故选D．

9.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题．
根据向量加减及数量积计算，先算加法，后算数量积即可．

【解答】

解：，
．
故选B．

10.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了关于坐标平面、坐标轴对称的点的性质、两点之间的距离公式，属于基础题．
分别求出2，关于xOz平面的对称点为关于z轴的对称点为2，再利用两点之间的距离公式即可得出．

【解答】

解：2，关于xOz平面的对称点为．
关于z轴的对称点为2，．
则．
故选：A．

11.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了空间向量共线定理的应用，涉及了空间向量的坐标表示以及空间向量相等的充要条件的应用，属于基础题．
直接利用向量共线定理得到存在实数，使得，再利用向量相等的坐标表示求出y和z，即可得到答案．

【解答】

解：因为向量1，，y，，且，
所以存在实数，使得，
则有，解得，，
所以．
故选：A．

12.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查空间向量的坐标运算，空间向量的数量积，空间向量的夹角，考查运算求解能力，属于基础题．
根据求出n，即可得出结果．

【解答】

解：向量0，，1，，2，，
，
，
，解得，
故1，，
向量与的夹角的余弦值为：
，
故选B．

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了空间向量的夹角求解问题，掌握求空间向量的夹角的求法是解题的关键，利用夹角公式直接求解，属于基础题．

【解答】

解：因为，0，，
设，的夹角为，则
又
，的夹角为 
故答案为 ．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了空间向量线性运算关系、坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
设y，，根据得到，列式求解即可．

【解答】

解：设y，，
所以，
因为，
所以，
所以
解得，
所以 ，
故答案为： ．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

建立空间直角坐标系，设点P的坐标为，，点Q的坐标为，，求出PQ，利用配方法，即可求出线段PQ长度的最小值．
本题考查求线段PQ长度的最小值，考查两点间距离公式，配方法，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．

【解答】

解：建立如图所示的空间直角坐标系，

则0，，1，，1，，1，，
设点P的坐标为，，点Q的坐标为，，
，
当且仅当，，即，时，线段PQ的长度取得最小值．
故答案为：．

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查空间向量的坐标计算，涉及空间向量模和夹角的计算，属于基础题．
根据题意，由、的坐标求出的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案，由、的坐标求出、、的值，由向量夹角公式计算可得答案．

【解答】

解：根据题意，空间向量，
则0，，则，
，
，，
则，，
又由，，则，，
故答案为：；．

17.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查空间直角坐标系及空间中的距离，属于基础题．
直接根据空间两点距离公式即可求得，设M关于N的对称点坐标为y，，根据中点坐标列方程即可求得 

【解答】

解：因为，
所以，
设M关于N的对称点坐标为y，，
则，
解得，，，
即M关于N的对称点坐标为．
故空1答案为：，空2答案为：

18.【答案】10

【解析】

【分析】

本题考查空间向量的坐标运算，考查空间向量的平行关系和垂直关系的坐标运算，属于基础题．
利用空间向量的数量积的垂直关系，得到求解利用空间向量的平行关系，建立比例关系求解x，

【解答】

解：因为向量，2，，
当，所以，所以，
当 ，所以，所以，
故答案为10；．

19.【答案】解：Ⅰ因为，所以．

且．

因为向量与垂直，

所以即，

即．

所以实数k的值为．

Ⅱ因为向量与向量共面，所以．

因为，

所以

所以实数x的值为．

【解析】本题考查了空间向量垂直与共面的判断与求解，考查了空间向量模的计算，属于基础题．
Ⅰ根据题意可得，，解方程即可求得结果；
Ⅱ根据题意可得，解方程即可求得结果．
 

20.【答案】解：，由于，故可设，
故，
解得，
故为或；
，
，
由于与垂直，，
则；
依题意，，，
故由余弦定理得，，
所以，
故三角形面积为．
 

【解析】本题考查空间向量的平行，垂直及坐标运算，空间向量的数量积和夹角，三角形的面积公式等．
推导出的坐标，，利用求得n，能求出结果；
求出，的坐标，利用数量积运算列式求k；
求出，的坐标，求得数量积和模，利用数量积运算求得cosA，进而得sinA，然后利用三角形面积公式计算．
 

21.【答案】解：由题图知0，，2，，2，，0，，0，，2，，2，，0，；

因为E，F分别为棱，DC的中点，

由中点坐标公式，得2，，1，．

所以，，2，．

【解析】本题主要考查的是空间直角坐标系与向量的坐标表示，属于基础题．
结合正方体的棱长及各点的位置求解即可；
先求出E，F坐标，再求向量，，的坐标．
 

22.【答案】解：，
，
解得，，
故4，，，
又，
，即，解得，
故；
由可得2，，，
设向量与所成的角为，
则．
 

【解析】本题考查空间向量平行和垂直的判断，涉及向量的夹角公式．
由向量的平行和垂直的坐标公式可得关于x，y，z的关系式，解之即可得向量坐标；
由可得向量与的坐标，进而由夹角公式可得结论．
 

23.【答案】解：，
，
解得，，
故4，，，
又，
，即，解得，
故；
由可得2，，，
设向量与所成的角为，
则．
 

【解析】本题考查空间向量平行和垂直的判断，涉及向量的夹角公式，属中档题．
由向量的平行和垂直的坐标公式可得关于x，y，z的关系式，解之即可得向量坐标；
由可得向量与的坐标，进而由夹角公式可得结论．