数学选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示课时作业

1.3.2 空间向量运算的坐标表示

 基 础 练                                                                                 

巩固新知    夯实基础

1.已知a＝(2，－3,1)，则下列向量中与a平行的是(　　)

A．(1,1,1)          B．(－2，－3,5)

C．(2，－3,5)         D．(－4,6，－2)

2.已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，则向量与的夹角为 (　　)

A．30°     B．45°     C．60°     D．90°

3. (多选)若向量a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，则下列结论正确的是(　　)

A．cos〈a，b〉＝－         B．a⊥b

C．a∥b                     D．|a|＝|b|

4.已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

5.若点A(0，1，2)，B(1，0，1)，则＝________，＝________．

6.与a＝(2，－1，2)共线且满足a·z＝－18的向量z＝________.

7.已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，O(0,0,0)，＋λ与的夹角为120°，求λ的值．

8.已知在空间直角坐标系中，A(1，－2,4)，B(－2，3,0)，C(2，－2，－5)．

(1)求＋，－2，·；

(2)若点M满足＝＋，求点M的坐标；

(3)若p＝，q＝，求(p＋q)·(p－q)．

 能 力 练                                                                                

综合应用   核心素养

9.已知A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC的形状是(　　)

A．等腰三角形        B．等边三角形

C．直角三角形        D．等腰直角三角形

10.已知空间向量，，，若，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

11.若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，满足条件(c－a)·2b＝

－2，则x的值为(　　)

A．2      B．－2      C．0      D．1

12.已知O为坐标原点，向量，点Q在直线上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（   ）

A． B． C． D．

13.已知边长为1的正方体，M为BC中点，N为平面上的动点，若，则三棱锥的体积最小值为（    ）

A． B． C． D．

14.已知△ABC的三个顶点为A(3，3，2)，B(4，－3，7)，C(0，5，1)，则BC边上的中线长为________．

15.如图,以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在线段AB上,点Q在线段DC上.

(1)当PB=2AP,且点P关于y轴的对称点为M时,求|PM|;

(2)当点P是面对角线AB的中点,点Q在面对角线DC上运动时,探究|PQ|的最小值. 

【参考答案】

1. D 解析　若b＝(－4,6，－2)，则b＝－2(2，－3,1)＝－2a，所以a∥b.

2.C解析　∵＝(0，3，3)，＝(－1，1，0)，∴||＝3，||＝，·＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，∴cos〈，〉＝＝，∵〈，〉∈[0°，180°]，∴〈，〉＝60°.

3.AD 解析∵向量a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，∴|a|＝，|b|＝，a·b＝1×(－2)＋2×0＋0×1＝－2，

cos〈a，b〉＝＝＝－.由上知A正确，B不正确，D正确．C显然也不正确．

4.B 解析：因为向量，的夹角为钝角，所以，且不共线，

则，得，当时，，∴的取值范围为.故选：B.

5. (1，－1，－1)　 解析：＝(1，－1，－1)，||＝＝.

6.(－4，2，－4) 解析　∵z与a共线，设z＝(2λ，－λ，2λ)．又a·z＝4λ＋λ＋4λ＝－18，∴λ＝－2，∴z＝(－4，2，－4)．

7.解　∵＝(1,0,0)，＝(0，－1,1)，∴＋λ＝(1，－λ，λ)，

∴(＋λ)·＝λ＋λ＝2λ，|＋λ|＝＝，||＝.

∴cos 120°＝＝－，∴λ2＝.又<0，∴λ＝－.

8. 解： (1)因为A(1，－2,4)，B(－2,3,0)，C(2，－2，－5)，

所以＝(－3,5，－4)，＝(－1,0,9)．

所以＋＝(－4,5,5)．

又＝(－4,5,5)，＝(3，－5,4)，

所以－2＝(－10,15，－3)．

又＝(－3,5，－4)，＝(1,0，－9)，

所以·＝－3＋0＋36＝33．

(2)由(1)知，＝＋＝(－3,5，－4)＋(1，0，－9)＝，

若设M(x，y，z)，则＝(x－1，y＋2，z－4)，

于是解得故M．

(3)由(1)知，p＝＝(－1,0,9)，q＝＝(－4,5,5)．

(方法1)(p＋q)·(p－q)＝|p|2－|q|2＝82－66＝16．

(方法2)p＋q＝(－5,5,14)，p－q＝(3，－5,4)，

所以(p＋q)(p－q)＝－15－25＋56＝16．

9. C 解析　＝(3，4，－8)，＝(2，－3，1)，＝(5，1，－7)，于是·＝10－3－7＝0，而||＝，||＝5，所以△ABC是直角三角形．

10.D 解析：因为空间向量，，且，所以，即.

因为，所以，解得：，

当且仅当，即时取等号.故选：D

11.A解析：因为c－a＝(1，1，1)－(1，1，x)＝(0，0，1－x)，2b＝2(1，2，1)＝(2，4，2)，所以(c－a)·2b＝2－2x＝－2.所以x＝2.

12.C解析：因点Q在直线上运动，则，有，于是有，

因此，，，

于是得，

则当时，，此时，点Q，

所以当取得最小值时，点Q的坐标为.

故选：C

13.B解析：以D为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，

则，

因为点N在yOz面上，所以设

∴，

又，∴，即，

∴，∴

又∵点N到平面AA1D的距离为其纵坐标的绝对值即|a|；

∴.

故选：B

14.3 解析：设BC边的中点为D，则＝(＋)＝(－1，－2，2)，所以||＝＝3.

15.解：由题意知A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,0),D(1,1,1).

(1)由PB=2AP得P.

(2)当点P是面对角线AB的中点时,P,点Q在面对角线DC上运动,设点Q(a,1,a),a∈[0,1],

则|PQ|==,

所以当a=.