人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示测试题

一．选择题（共16小题）

1．如图：在平行六面体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是　　

A． B． C． D．

2．三棱锥中，，分别是，的中点，且，，，用，，表示，则等于　　

A． B． C． D．

3．已知空间四边形，其对角线、，、分别是边、的中点，点在线段上，且使，用向量，表示向量是　　

A． B． 

C． D．

4．如图，是的重心，，则　　

A． B． C． D．

5．对于空间任意一点和不共线得三点、、，有如下关系：，则　　

A．四点、、、必共面 B．四点、、、必共面 

C．四点、、、必共面 D．五点、、、，必共面

6．在平行六面体中，，则　　

A．1 B． C． D．

7．如图，在四面体中，是的中点，是的中点，则等于　　

A． B． 

C． D．

8．在平行六面体中，设，则等于　　

A．1 B． C． D．

9．如图，在平行六面体中，与的交点为．设，，，则下列向量中与相等的向量是　　

A． B． C． D．

10．一个向量在基底下的坐标为，2，，则在基底下的坐标为　　

A． B． C． D．

11．若，，构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是　　

A．，， B．，， C．，， D．，，

12．若向量，，是空间的一个基底，向量，，那么可以与，构成空间的另一个基底的向量是　　

A． B． C． D．

13．若、、为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是　　

A．，， B．，， C．，， D．，，

14．设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则，则，，为　　

A．，， B．，， C．，， D．，，

15．已知，，是空间的一个基底，，，是空间的另一个基底，一向量在基底，，下的坐标为，2，，则向量在基底，，下的坐标是　　

A．，0， B．，1， C．，2， D．，1，

16．已知是空间向量的一个基底，则与向量，可构成空间向量基底的是　　

A． B． C． D．

二．填空题（共4小题）

17．已知向量，，是空间的一个单位正交基底，向量，，是空间的另一个基底．若向量在基底，，下的坐标为，5，，则在基底，，下的坐标为　　．

18．在正方体中，点和分别是矩形和的中心，若点满足，其中、、，且，则点可以是正方体表面上的 　　．

19．已知向量，，是空间的一组单位正交基底，向量，，是空间的另一组基底，若向量在基底，，下的坐标为，1，，在基底，，下的坐标为，，，则　　，　　．

20．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若存在实数，，，使向量，则　　．

                                   参考答案与试题解析

一．选择题（共16小题）

1．如图：在平行六面体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是　　

A． B． C． D．

【分析】利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出．

【解答】解：

故选：．

【点评】本题考查利用向量的运算法则将未知的向量用已知的基底表示从而能将未知向量间的问题转化为基底间的关系解决．

2．三棱锥中，，分别是，的中点，且，，，用，，表示，则等于　　

A． B． C． D．

【分析】利用向量的平行四边形法则、三角形法则可得：，，，，，代入化简即可得出．

【解答】解：，，，，，

，

，

故选：．

【点评】本题考查了向量的平行四边形法则、三角形法则，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．

3．已知空间四边形，其对角线、，、分别是边、的中点，点在线段上，且使，用向量，表示向量是　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据所给的图形和一组基底，从起点出发，把不是基底中的向量，用是基底的向量来表示，就可以得到结论．

【解答】解：

故选：．

【点评】本题考查向量的基本定理及其意义，解题时注意方法，即从要表示的向量的起点出发，沿着空间图形的棱走到终点，若出现不是基底中的向量的情况，再重复这个过程．

4．如图，是的重心，，则　　

A． B． C． D．

【分析】利用向量三角形法则、重心定理、向量线性运算性质即可得出．

【解答】解：，，，，，

．

故选：．

【点评】本题考查了向量三角形法则、重心定理、向量线性运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

5．对于空间任意一点和不共线得三点、、，有如下关系：，则　　

A．四点、、、必共面 B．四点、、、必共面 

C．四点、、、必共面 D．五点、、、，必共面

【分析】由共面向量基本定理、空间向量基本定理即可得出．

【解答】解：由，，可得四点、、、必共面．

故选：．

【点评】本题考查了共面向量基本定理、空间向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

6．在平行六面体中，，则　　

A．1 B． C． D．

【分析】如图所示，在平行六面体中，，与比较即可得出．

【解答】解：如图所示，

在平行六面体中，

，

与比较可得：

，，．

则．

故选：．

【点评】本题考查了空间平行六面体法则、空间向量基本定理、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

7．如图，在四面体中，是的中点，是的中点，则等于　　

A． B． 

C． D．

【分析】在四面体中，是的中点，是的中点，可得，．即可得出．

【解答】解：在四面体中，是的中点，是的中点，

则，．

．

故选：．

【点评】本题考查了空间向量运算性质、平面向量平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

8．在平行六面体中，设，则等于　　

A．1 B． C． D．

【分析】在平行六面体中，用、、表示出，将它和题中已知的的解析式作对照，

求出、、 的值．

【解答】解：在平行六面体中，，

又，，，，

，，，，

故选：．

【点评】本题考查空间向量基本定理及其意义，空间向量的加减和数乘运算，用待定系数法求出、、 的值．

9．如图，在平行六面体中，与的交点为．设，，，则下列向量中与相等的向量是　　

A． B． C． D．

【分析】在平行六面体中，根据空间向量的加法合成法则，对向量进行线性表示即可．

【解答】解：由题意得，平行六面体中，

；

故选：．

【点评】本题考查了空间向量的加法运算问题，解题时应结合图形进行解答，属于基础题．

10．一个向量在基底下的坐标为，2，，则在基底下的坐标为　　

A． B． C． D．

【分析】利用向量相等，求出，，即可．

【解答】解：向量在基底下的坐标为，2，，

则，

由，，，

得，，，

故选：．

【点评】考查向量的表示，基础题．

11．若，，构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是　　

A．，， B．，， C．，， D．，，

【分析】由平面向量基本定理判断．

【解答】解：由平面向量基本定理得：

对于选项，，所以，，三个向量共面；

对于选项，同理：，，三个向量共面；

对于选项，，所以三个向量共面；

故选：．

【点评】本题考查平面向量基本定理，属于基础题．

12．若向量，，是空间的一个基底，向量，，那么可以与，构成空间的另一个基底的向量是　　

A． B． C． D．

【分析】向量，，是空间的一个基底的充要条件为，，不共面，逐一按此标准检验即可

【解答】解：向量，，是空间的一个基底，则，，不共面，

对于选项，故，，共面，故错误，

对于选项，故，，共面，故错误，

对于选项，，不共面，故可以构成空间的另一个基底，故正确，

对于选项：由选项得：，故，，共面，故错误，

故选：．

【点评】本题考查了空间向量基本定理、正交分解及坐标，属简单题

13．若、、为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是　　

A．，， B．，， C．，， D．，，

【分析】空间的一组基底，必须是不共面的三个向量，利用向量共面的充要条件可证明、、三个选项中的向量均为共面向量，利用反证法可证明中的向量不共面

【解答】解：，，，共面，不能构成基底，排除；

，，，共面，不能构成基底，排除；

，，，，共面，不能构成基底，排除；

若、、共面，则，则、、为共面向量，此与、、为空间的一组基底矛盾，故，，可构成空间向量的一组基底．

故选：．

【点评】本题主要考查了空间向量基本定理，向量共面的充要条件等基础知识，判断向量是否共面是解决本题的关键，属基础题

14．设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则，则，，为　　

A．，， B．，， C．，， D．，，

【分析】由是上一点，且，可得，结合重心的定义，即可得出结论．

【解答】解：由是上一点，且，可得

又因为是的重心，所以

而，

所以，所以，

故选：．

【点评】本题考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，正确转化是关键．

15．已知，，是空间的一个基底，，，是空间的另一个基底，一向量在基底，，下的坐标为，2，，则向量在基底，，下的坐标是　　

A．，0， B．，1， C．，2， D．，1，

【分析】设向量在基底，，，下的坐标为，，，则，由此能求出向量在基底，，下的坐标．

【解答】解：设向量在基底，，，下的坐标为，，，

则，

整理得：，

，解得，，，

向量在基底，，下的坐标是，1，．

故选：．

【点评】本题考查向量在基底下的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间向量坐标运算法则的合理运用．

16．已知是空间向量的一个基底，则与向量，可构成空间向量基底的是　　

A． B． C． D．

【分析】由基底的意义知共面的三个向量不能构成空间向量基底，即可判断出结论．

【解答】解：由于向量，，都与向量，为共面向量，因此，，不符合题意．

故选：．

【点评】本题主要考查正确如何理解空间向量的基底的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

二．填空题（共4小题）

17．已知向量，，是空间的一个单位正交基底，向量，，是空间的另一个基底．若向量在基底，，下的坐标为，5，，则在基底，，下的坐标为　，，　．

【分析】由空间向量基本定理得：，得，得解．

【解答】解：由题意有，

设，

则有，得，

故答案为：，，．

【点评】本题考查了空间向量基本定理，属简单题．

18．在正方体中，点和分别是矩形和的中心，若点满足，其中、、，且，则点可以是正方体表面上的 　线段，，上的点．　．

【分析】因为点满足，其中、、，且，所以点，，三点共面，只需要找到平面与正方体表面的交线即可．

【解答】解：因为点满足，其中、、，且，所以点，，三点共面，

又因为和分别是矩形和的中心，所以，，

连接，，则，所以△即为经过，，三点的平面与正方体的截面，

故点可以是正方体表面上线段，，上的点．

故答案为：线段，，上的点．

【点评】本题考查空间向量基本定理及推论，同时考查了学生的直观想象、逻辑推理等数学核心素养．属于中档题．

19．已知向量，，是空间的一组单位正交基底，向量，，是空间的另一组基底，若向量在基底，，下的坐标为，1，，在基底，，下的坐标为，，，则　1　，　　．

【分析】由题意可得：，，利用向量相等即可得出．

【解答】解：由题意可得：，

，

，解得，，．

．

故答案为：1，3．

【点评】本题考查了向量基本定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

20．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若存在实数，，，使向量，则　　．

【分析】根据向量加法、数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，以及相等向量和相反向量的定义即可得出，然后根据空间向量基本定理即可得出，，的值，然后即可求出的值．

【解答】解：

，

又，

，

．

故答案为：．

【点评】本题考查了向量加法和数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，相等向量和相反向量的定义，空间向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题．