高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示精品练习
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1.3.1空间直角坐标系同步练习人教 A版（2019）高中数学选择性必修第一册
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
- 在空间直角坐标系中，点1，关于x轴对称的点坐标是
A. 1， B. 1， C. D.
- 点关于xOy平面的对称点为
A. B. 1， C. 1， D.
- 点关于点1，的对称点的坐标是
A. 4， B. 2， C. D.
- 在空间直角坐标系中，点与点关于
A. x轴对称 B. y轴对称 C. z轴对称 D. 原点对称
- 已知点b，是空间直角坐标系中的一点，则与点M关于z轴对称的点的坐标是
A. B. b， C. D.
- 如图，在正方体中，棱长为2，E是上的点，且，则点E的坐标为
A. 2， B. 2， C. 2， D. 2，
- 如图，在正方体中，棱长为2，E是上的点，且，则点E的坐标为
A. 2， B. C. D.
- 空间直角坐标系中，已知，2，，则线段AB的中点为
A. B. 0， C. 0， D. 0，
- 点4，关于xOz平面对称的点的坐标是
A. 4， B. C. 4， D.
- 在空间直角坐标系中，已知点，下列叙述中正确的个数是
点P关于x轴对称点的坐标是；
点P关于Oyz平面对称点的坐标是；
点P关于y轴对称点的坐标是；
点P关于原点对称的点的坐标是．
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
- 在空间直角坐标系中，点关于xOy平面的对称点的坐标为
A. B. C. D.
- 在空间直角坐标系中，点y，，构成的集合是
A. 一条直线 B. 平行于平面xOy的平面
C. 两条直线 D. 平行于平面xOz的平面
二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）
- 在空间直角坐标系中，点关于平面Oxy对称点为，则 ．
- 如图，直三棱柱的所有棱长都是2，以A为坐标原点建立如图空间直角坐标系，则顶点的坐标是 ．
|
- 在空间直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标为 ．
三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）
- 在空间直角坐标系中，点2，关于平面对称的点记为B，则B的坐标是 ，与同方向的单位向量坐标是 ．
- 在空间直角坐标系中，已知正方体不在同一表面上的两顶点坐标为，，则正方体的体积为 点A关于y轴对称的点的坐标为 ．
- 已知点关于坐标平面的对称点的坐标为 ，点关于坐标平面的对称点为，点关于z轴的对称点为，则点的坐标为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
- 如图所示，在正四棱柱中，O，分别为底面ABCD、底面的中心，，，M为的中点，N在上，且：：3．
若以O为原点，分别以OA，OB，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标；
若以D为原点，分别以DA，DC，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标．
- 如图，在长方体中，，，，N为棱的中点，分别以AB，AD，所在直线为x轴y轴、z轴建立空间直角坐标系．
求点A，B，C，D，，，，的坐标；
求点N的坐标．
|
- 如图，在空间直角坐标系中，平面OAB，，．
求点P的坐标；
若PB，求点B的坐标．
- 如图所示，三棱柱中，所有的棱长均为2，侧棱底面ABC，建立适当的坐标系写出各顶点的坐标．
|
- 已知点2，关于坐标原点的对称点为，关于xOz平面的对称点为，关于z轴的对称点为，求线段的中点M的坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查空间直角坐标系中关于坐标轴对称的点的坐标，属于基础题．
先根据空间直角坐标系对称点的特征，点y，关于x轴的对称点的坐标为：，即可得对称点的坐标．
【解答】
解：在空间直角坐标系中，
点y，关于x轴的对称点的坐标为：，
点1，关于x轴的对称点的坐标为：．
故选C．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了空间直角坐标系中点的对称问题，属于基础题．
根据点b，关于xOy平面的对称点为b，，写出即可．
【解答】
解：点关于xOy平面的对称点为．
故选A．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了中点坐标公式，属于基础题．
根据点A关于点1，的对称点为，得出1，为线段的中点，利用中点坐标公式求出点的坐标．
【解答】
解：设点A关于点1，的对称点为y，，
则1，为线段的中点，
即，，，
解得，，；
4，．
故选：A．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查空间直角坐标系中点的对称，属于基础题．
由点与点，纵坐标相同，横坐标、竖坐标互为相反数，得关于y轴对称．
【解答】
解：在空间直角坐标系中，点与点，
y纵坐标相同，x轴坐标、z轴坐标互为相反数，
则点与点关于y轴对称．
故选B．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
先根据空间直角坐标系对称点的特征，点y，关于z轴的对称点的坐标为只须将横坐标、纵坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标．
本小题主要考查空间直角坐标系、空间直角坐标系中点的坐标特征等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．
【解答】
解：在空间直角坐标系中，
点y，关于z轴的对称点的坐标为：，
点b，关于z轴的对称点的坐标为：
．
故选：C．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查空间直角坐标系中的点的坐标的确定，属于基础题．
根据题意，设2，，求出z，即可得解．
【解答】
解：由题意，可设2，，
因为，
所以，
所以，
故E2，
故选D．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查空间直角坐标系中坐标的确定，属于基础题．
由平面xOy，可设2，，结合已知条件可得结果．
【解答】
解：因为平面xOy，而2，，故设2，，
又因，
所以，
故E2，
故选D．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查空间坐标系及中点坐标公式，利用中点坐标公式即可得出，属于基础题．
【解答】
解：设点y，是A，B的中点，
，，，
即0，．
故选D．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了空间直角坐标系，属于基础题．
根据空间坐标系知，点y，关于xOz平面对称点的坐标为求解即可．
【解答】
解：根据空间坐标系知，点y，关于xOz平面对称点的坐标为，
所以点4，关于xOz平面对称的点的坐标是．
故选B．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查空间直角坐标系中的任一点关于坐标轴和坐标平面对称的点的规律，属于基础题．
由题意根据空间直角坐标系的特点，分别求出关于坐标轴和坐标平面对称的点，再判断是否正确．
【解答】
解：点P关于x轴的对称点为；
点P关于Oyz平面的对称点为y，；
点P关于y轴的对称点为y，；
点P关于原点对称的点的坐标是．
故错误，正确，
正确的个数只有一个．
故选C．
11.【答案】A
【解析】
【分析】
本题以空间直角坐标系为载体，考查点关于面的对称问题，属于基础题．
根据关于平面xOy对称的点的规律：横坐标、纵坐标保持不变，竖坐标变为它的相反数，即可求得答案．
【解答】
解：由题意，关于平面xOy对称的点的横坐标、纵坐标保持不变，竖坐标变为它的相反数，从而点2，关于平面xOy对称的点的坐标为2，．
故选A．
12.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查空间坐标系，属于基础题．
由点y，，的z坐标为定值即可得解．
【解答】
解：由题意知，点M在平面xOy的上方，且距平面xOy始终为2020，
所以点y，，构成的集合是平行于平面xOy的平面，
故选：B．
13.【答案】1
【解析】
【分析】
本题考查空间直角坐标系中点关于坐标平面的对称问题，属于基础题．
在空间直角坐标系中，点y，关于平面Oxy对称点为y，，由此可以得到点的对称点为，结合条件求出m，n．
【解答】
解：在空间直角坐标系中，
点关于平面Oxy对称点为，
与条件中的点n，为同一点，
，，即，，
．
故答案为：1．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查空间直角坐标系中点的坐标，属于基础题．
根据题意可知点的x，y坐标与点B的x，y坐标相同，解得，即可得解
【解答】
解：根据题意可知点的x，y坐标与点B的x，y坐标相同，
在三角形ABC中，解得，
所以点的坐标为，
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查空间直角坐标系、空间直角坐标系中点的坐标特征等基础知识，属于基础题．
先根据空间直角坐标系对称点的特征，点y，关于x轴的对称点的坐标为，即可得对称点的坐标．
【解答】
解：在空间直角坐标系中，
点y，关于x轴的对称点的坐标为，
点1，关于x轴的对称点的坐标为．
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查点的坐标的、空间向量的模，考查空间直角坐标系的性质、两点间距离公式等基知识，考查运算求解能力，属于基础题．
点b，关于轴对称的点的坐标为b，，然后求解的模，则与同方向的单位向量为．
【解答】
解：点2，关于坐标平面对称的点B的坐标为2，，
所以，
则与同方向的单位向量为，
故答案为
17.【答案】64
【解析】
【分析】
主要考查空间直角坐标系和正方体的结构特征与体积计算，以及对称点坐标的计算．
根据题意判断给定两点是正方体的对角线，求得长度，进而求出正方体的棱长，从而求体积；根据关于y轴对称点的坐标特点求坐标即可．
【解答】
解：正方体中不在同一表面上两顶点坐标为2，，，
是正方体的体对角线，，
正方体的棱长为4，
所以正方体的体积为，
A关于y轴对称的点，纵标不变，横标与竖标变，
关于y轴对称的点为
所以答案为64；
18.【答案】3，，
【解析】
【分析】
本题主要考查空间直角坐标系中的点的坐标，属于基础题．
按照对称性求出点的坐标即可．
【解答】
解：由已知：点P的第三个坐标变为相反数得到
再将第一个坐标取相反数得到
再将第一个和第二个坐标取相反数得到．
故答案为．
19.【答案】解：在正方形ABCD中，，所以，则，
以O为原点，分别以OA，OB，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则，，；
以D为原点，分别以DA，DC，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则0，，6，，6，，0，，0，，6，，6，，0，，3，，3，，6，，6，．
【解析】求出所需线段的长度，利用空间直角坐标系中点的求解方法分别求解即可；
利用题中所给线段的长度，利用空间直角坐标系中点的求解方法分别求解即可．
本题考查了空间直角坐标系的建立以及空间中点的坐标的求解，属于基础题．
20.【答案】解：在长方体中，，，，N为棱的中点，
分别以AB，AD，所在直线为x轴y轴、z轴建立空间直角坐标系．
点0，，
在x轴的正半轴上，且，
0，，
同理得：3，，0，，
在坐标平面xOy内，且，，
3，，
同理得0，，3，，
与点C的坐标相比，点的坐标只有竖坐标与点C不同，
且，则点3，．
由知3，，3，，
的中点坐标为3，
【解析】本题考查点的坐标、中点坐标的求法，考查空间直角坐标系、中点坐标公式等，是基础题．
利用空间直角坐标系的性质能求出点A，B，C，D，，，，的坐标．
利用中点坐标公式能求出点N的坐标．
21.【答案】解：过A作于E，
则，，
所以点A的坐标为，
所以点P的坐标为
因为点B在y轴上，
因此可设点B的坐标为b，，
则，
解得，
所以点B的坐标为．
【解析】 本题考查了空间直角坐标系，是基础题．
过A作于E，则，，可得点A的坐标和点P的坐标；
设点B的坐标为b，，则，解出b，可得点B的坐标．
22.【答案】解：取AC的中点O和的中点，
可得，
由题意可得，OB，OC，两两垂直，
分别以OB，OC，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
因为三棱柱各棱长均为2，
所以，，
可得，0，，1，，，0，，1，．
【解析】本题考差了空间直角坐标系的运算，属于基础题．
应用建立空间直角坐标系求出各点坐标即可．
23.【答案】解：点2，关于坐标原点的对称点的坐标为，
点关于xOz平面的对称点的坐标为2，，
点关于z轴的对称点的坐标为，
线段中点M的坐标为0，．
【解析】本题考查了关于坐标平面、坐标轴对称的点的性质、空间中点坐标公式，属于基础题．
分别求出2，关于坐标原点的对称点的坐标，关于xOz平面的对称点的坐标，关于z轴的对称点的坐标，再利用中点坐标公式即可得出．
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