人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）课后作业题

十七　函数的应用(二)

(25分钟　50分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．(2020·十堰高一检测)若点(log147，log1456)在函数f(x)＝kx＋3的图象上，则f(x)的零点为(　　)

A．1　　　B．　　　C．2　　　D．

【解析】选D.根据题意，点(log147，log1456)在函数f(x)＝kx＋3的图象上，则log1456＝k×log147＋3，解得k＝－2，则f(x)＝－2x＋3，若f(x)＝0，则x＝，即f(x)的零点为.

2．衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸的体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为(　　)

A．125    B．100    C．75    D．50

【解析】选C.由已知得a＝a·e－50k，即e－50k＝＝.

所以a＝·a＝(e－50k)·a＝e－75k·a，所以t＝75.

3．已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)＋2x＋a有两个零点，则实数a的取值范围是(　　)

A．(1，2]    B．[－2，－1)

C．[2，4]    D．[－4，－2)

【解析】选D.因为函数y＝f(x)＋2x＋a有两个零点，所以直线y＝－2x－a与y＝f(x)的图象有两个零点，

作出y＝f(x)的图象如图所示：

若直线y＝－2x－a经过点(1，0)，则a＝－2，

若直线y＝－2x－a经过点(1，2)，则a＝－4.

所以当直线y＝－2x－a与y＝f(x)的图象有2个交点时，－4≤a<－2.

4．(多选题)某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用y1(千元)，乙厂的总费用y2(千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则下列说法正确的是(　　)

A．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元

B．甲厂的总费用y1与证书数量x之间的函数关系式为y1＝0.5x＋1

C．若该单位需印制证书数量为8千个，则该单位选择甲厂更节省费用

D．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为y2＝x＋

【解析】选ABD.对于选项A：由图可知甲厂制版费为1千元，印刷费平均每个为＝0.5(元)，所以选项A正确，

对于选项B：设甲厂的总费用y1与证书数量x之间的函数关系式为y1＝kx＋b(k≠0)，

则解得

所以y1＝0.5x＋1，所以选项B正确，

对于选项C：由图象可知，当印制证书数量超过6千个时，乙厂费用少于甲厂费用，

所以若该单位需印制证书数量为8千个，则该单位选择乙厂更节省费用，所以选项C错误，

对于选项D：当印制证书数量超过2千个时，

设乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为y2＝ax＋c(a≠0)，

代入点(2，3)和点(6，4)得

解得

所以y2＝x＋，所以选项D正确．

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．已知函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))－1的零点个数为________．

【解析】由题意，令f(f(x))－1＝0，得f(f(x))＝1，令f(x)＝t，

由f(t)＝1，得t＝－1或t＝，作出函数f(x)的图象，如图所示，

结合函数f(x)的图象可知，f(x)＝－1有1个解，

f(x)＝有2个解，故y＝f(f(x))－1的零点个数为3.

答案：3

6．(2021·菏泽高一检测)某制造商制造并出售圆柱形瓶装的某种饮料，瓶子的底面半径是r，高h＝r(单位：cm)，一个瓶子的制造成本是0.8πr2分，已知每出售1 mL(注：1 mL＝1 cm3)的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子底面的最大半径为6cm.记每瓶饮料的利润为f(r)，则f(3)＝______，其实际意义是________.

【解析】f(r)＝0.2·πr2·r－0.8πr2

＝－0.8πr2(0<r≤6)，

故f(3)＝7.2π－7.2π＝0.

表示当瓶子底面半径为3 cm时，利润为0.

答案：0　当瓶子底面半径为3 cm时，利润为0

三、解答题(每小题10分，共20分)

7．已知函数f(x)＝(c为常数)，若1为函数f(x)的零点．

(1)求c的值．

(2)证明函数f(x)在[0，2]上是单调递增的．

(3)已知函数g(x)＝f(ex)－，求函数g(x)的零点．

【解析】(1)因为1为函数f(x)的零点，所以f(1)＝0，即c＝1.

(2)设0≤x1<x2≤2，

则f(x2)－f(x1)＝－＝，

因为0≤x1<x2≤2，所以x2－x1>0，x2＋1>0，x1＋1>0，所以f(x2)>f(x1)，即函数f(x)在[0，2]上是单调递增的．

(3)令g(x)＝f(ex)－＝－＝0，

所以ex＝2，即x＝ln 2，所以函数g(x)的零点是ln 2.

8．已知函数f(x)＝，g(x)＝|x－2|.

(1)求方程f(x)＝g(x)的解集；

(2)定义：max{a，b}＝.已知定义在[0，＋∞)上的函数

h(x)＝max{f(x)，g(x)}．

(ⅰ)求h(x)的单调区间；

(ⅱ)若关于x的方程h(x)＝m有两个实数解，求m的取值范围．

【解析】(1)由f(x)＝g(x)，得＝|x－2|，

所以，即x2－5x＋4＝0(x≥0)，解得x＝1或x＝4.

所以方程f(x)＝g(x)的解集为{1，4}；

(2)由题意作出函数h(x)＝max{f(x)，g(x)}在[0，＋∞)上的图象如图，

(ⅰ)由图可知，h(x)的单调减区间为[0，1]，增区间为[1，＋∞)；

(ⅱ)由图可知，若关于x的方程h(x)＝m有两个实数解，

则m的取值范围为(1，2].

【加固训练】

某小区拟建一座游泳池，池的深度一定，现有两个方案，方案一，游泳池平面图形为矩形且面积为200平方米，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁(与矩形的一边所在直线平行)建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计)：方案二，游泳池平面图形为圆且面积为64π平方米，池的四周墙壁建造单价为每米500元，中间一条隔壁(为圆的直径)建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计，π≈3.14).

(1)如采用方案一，游泳池的长设计为多少米时，可使总造价最低？

(2)方案一以最低价计算，选择哪种方案的总造价更低？

【解析】(1)设出矩形的长为x，则宽为，

总造价为200×60＋×2×400＋100x，

或者200×60＋×2×400＋×100，

当造价为200×60＋×2×400＋100x

＝12 000＋900x＋≥12 000＋2＝36 000(元)，

当且仅当900x＝，即x＝时取等号；

当造价为200×60＋×2×400＋×100

＝12 000＋800x＋≥12 000＋2＝36 000(元)，

当且仅当800x＝，即x＝15时取等号；

(2)方案二：总造价64π×60＋×2π×500＋×2×100

≈38 777.6(元)，

因为38 777.6>36 000，

所以选择方案一的总造价更低．