人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示当堂达标检测题

九　函数的概念

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．(2021·哈尔滨高一检测)函数y＝＋的定义域是(　　)

A．[－2，2]     B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

C．[0，2]     D．{－2，2}

【解析】选D.要使函数有意义，

则得得x2＝4，得x＝2或x＝－2，

即函数的定义域为{－2，2}．

2．设f(x)＝x2－3x＋1，则f(a)－f(－a)等于(　　)

A．0       B．－6a

C．2a2＋2     D．6a

【解析】选B.f(a)－f(－a)＝a2－3a＋1－[(－a)2－3(－a)＋1]＝－6a.

3．若函数y＝f(x)的定义域是，则函数g(x)＝的定义域是(　　)

A．        B．

C．∪     D．∪

【解析】选B.由于函数f(x)的定义域为，

所以0≤2x≤2，即0≤x≤1，

所以函数f的定义域是.又x－1≠0，即x≠1，

所以函数g(x)的定义域为.

4．(2021·银川高一检测)若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是(　　)

A．    B．

C．    D．

【解析】选D.根据题意，ax2－4ax＋2＞0的解集为R，①a＝0时，2＞0恒成立，满足题意；

②a≠0时，

解得0＜a＜.

综上得实数a的取值范围是.

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．已知函数f的定义域为，则f的定义域为________．

【解析】由函数f的定义域为得－1<x<2，

所以－3<2x－1<3，由－3<2－3x<3得－<x<，

所以f的定义域为.

答案：

6．令[x]表示不超过x的最大整数，例如，[－3.5]＝－4，[2.1]＝2，若函数f(x)＝3[x]－[2x]，则函数f(x)在区间[0，2]上所有可能取值的和为________．

【解答】根据题意，

当0≤x＜时，有0≤2x＜1，则[x]＝0，则3[x]＝0，[2x]＝0，此时f(x)＝0，

当≤x＜1时，有1≤2x＜2，则[x]＝0，则3[x]＝0，[2x]＝1，此时f(x)＝－1，

当1≤x＜时，有2≤2x＜3，则[x]＝1，则3[x]＝3，[2x]＝2，此时f(x)＝1，

当≤x＜2时，有3≤2x＜4，则[x]＝1，则3[x]＝3，[2x]＝3，此时f(x)＝0，

当x＝2时，2x＝4，则[x]＝2，则3[x]＝6，[2x]＝4，此时f(x)＝2，

函数f(x)在区间[0，2]上所有可能取值的和为2.

答案：2

三、解答题(每小题10分，共30分)

7．已知函数f(x)＝＋的定义域为集合A，B＝{x|x＜a}．

(1)若A⊆B，求实数a的取值范围；

(2)若全集U＝{x|x≤4}，a＝－1，求UA及A∩(UB).

【解析】(1)要使函数f(x)＝＋有意义，则

解得－2＜x≤3.所以，A＝{x|－2＜x≤3}．

又因为B＝{x|x＜a}，要使A⊆B，则a＞3.

(2)因为U＝{x|x≤4}，A＝{x|－2＜x≤3}，

所以UA＝{x|x≤－2或3＜x≤4}．

又因为a＝－1，所以B＝{x|x＜－1}．

所以UB＝{－1≤x≤4}，

所以A∩(UB)＝{x|－2＜x≤3}∩{－1≤x≤4}＝{x|－1≤x≤3}．

8．已知函数f(x)＝.

(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数k的值．

(2)是否存在实数k，使得函数f(x)的定义域为？若存在，求出实数k的值；若不存在，请说明理由．

【解析】(1) 由题意，得关于x的不等式4kx＋3>0的解集为R，

当k>0时不等式4kx＋3>0的解集为不符合题意；

当k<0时不等式4kx＋3>0的解集为不符合题意；当k＝0时3>0恒成立符合题意．综上实数k的值是0.

(2)假设存在满足题意的实数k.

由题意，得关于x的不等式4kx＋3>0的解集为，

所以即无解，与假设矛盾．故不存在实数k，使得函数f(x)的定义域为.

9．求函数的定义域．

(1)函数y＝的定义域；

(2)已知y＝f(x)的定义域为[0，1]，求函数y＝f(x2)＋f的定义域；

(3)已知y＝f(|x|)的定义域为[－1，2]，求函数y＝f(x)的定义域．

【解析】(1)函数y＝中，令x2－|x|－2≥0，

则①x≥0时，不等式化为x2－x－2≥0，

即(x－2)(x＋1)≥0，解得x≤－1或x≥2，所以x≥2；

②x＜0时不等式化为x2＋x－2≥0，

即(x＋2)(x－1)≥0，解得x≤－2或x≥1，

所以x≤－2；

综上知函数y的定义域为(－∞，－2]∪[2，＋∞).

(2)y＝f(x)的定义域为[0，1]，对于函数y＝f(x2)＋f，

令解得

即－1≤x≤－，

所以函数y的定义域为.

(3)y＝f(|x|)的定义域为[－1，2]，即－1≤x≤2，所以0≤|x|≤2，所以函数y＝f(x)的定义域为x∈[0，2].