人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式随堂练习题

七　基本不等式

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．(2021·长沙高一检测)下列结论正确的是(　　)

A．当x>1时，＋≥2

B．当x≠0时，x＋的最小值是2

C．当x<时，4x－2＋的最小值是5

D．设x>0，y>0，且x＋y＝2，则＋的最小值是

【解析】选D.A选项：当x>1时，>1，＋≥2，当且仅当x＝1时等号成立，但等号取不到，故＋>2，A选项错误；

B选项：当x>0时，x＋的最小值是2；当x<0时，x＋的最大值是－2，B选项错误；

C选项：当x<时，4x－5<0，则4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝即x＝1时等号成立，C选项错误；

D选项：当x>0，y>0，＋＝··＝·≥·＝，当且仅当x＝，y＝时等号成立，D选项正确．

2．(2021·南京高一检测)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是(　　)

A．80元    B．120元    C．160元    D．240元

【解析】选C.设长方体底面边长分别为x，y，则y＝，

所以容器总造价为z＝2(x＋y)×10＋20xy＝

20＋80，

由基本不等式得，z＝20＋80≥160，

当且仅当底面为边长为2的正方形时，总造价最低．

3．(2021·沈阳高一检测)若0<x<，则y＝x的最大值为(　　)

A．1    B．    C．    D．

【解析】选C.因为0<x<，

所以y＝x＝

＝≤·＝，

当且仅当4x2＝1－4x2，即x＝时取等号，

则y＝x的最大值为.

4．(多选题)(2021·台州高一检测)已知正实数a，b满足2a＋＋b＋－10＝0，则下列结论正确的是(　　)

A．2a＋b的最大值为5＋

B．2a＋b的最大值为9

C．2a＋b的最小值为5－

D．2a＋b的最小值为1

【解析】选BD.由题意，设2a＋b＝t(t>0)，

则t＋＋－10＝0，

即＋＝10－t，

所以0<t<10，由基本不等式得，(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，

当且仅当＝，

即a＝b时，等号成立，

所以(2a＋b)≥9，即t≥9，

解得1≤t≤9，

所以1≤2a＋b≤9，即2a＋b的最大值为9，最小值为1.

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．若正实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．

【解析】因为x2＋y2＋xy＝1，

所以(x＋y)2－xy＝1，

即(x＋y)2－≤1，

所以(x＋y)2≤，x＋y≤.

答案：

6．爬山是一种简单有趣的野外运动，有益于身体健康，但要注意安全，准备好必需物品，控制好速度．现有甲、乙两人相约爬山，若甲上山的速度为v1，下山(原路返回)的速度为v2(v1≠v2)，乙上下山的速度都是(v1＋v2)(两人途中不停歇)，则甲、乙两人上下山所用时间之比为________；甲、乙两人上下山所用时间之和最少的是________(填甲或乙).

【解析】设上山路程为1，

则甲上下山所用时间为＋＝，乙上下山所用时间为2·＝，

所以甲、乙两人上下山所用时间之比为

＝.

因为v1≠v2，

所以>＝，

<＝，

所以>，

即乙上下山所用时间之和最少．

答案：　乙

三、解答题(每小题10分，共30分)

7．(1)已知x>0，求y＝2－x－的最大值；

(2)已知－1<x<，求y＝(1＋x)(1－2x)的最大值．

【解析】(1)因为x>0，所以x＋≥4，

所以y＝2－x－＝2－≤2－4＝－2，

所以当且仅当x＝，

即x＝2>0，函数y＝2－x－的最大值为－2.

(2)因为－1<x<，

所以1＋x>0，1－2x>0，

所以y＝(1＋x)(1－2x)＝(1－2x)

≤＝，

当且仅当2＋2x＝1－2x，

即x＝－∈时，y＝(1＋x)(1－2x)的最大值为.

8．已知a>0，b>0.

(1)求证：a2＋3b2≥2b(a＋b)；

(2)若a＋b＝2ab，求ab的最小值．

【解析】(1)因为a2＋3b2－2b(a＋b)＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0，

所以a2＋3b2≥2b(a＋b).

(2)因为a>0，b>0，

所以2ab＝a＋b≥2，

即2ab≥2，所以≥1，

所以ab≥1.

当且仅当a＝b＝1时取等号，此时ab取最小值1.

9．扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为

60°(如图)，考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 m2，且高度不低于 m．记防洪堤横断面的腰长为x(m)，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y(m).

(1)用x表示y，并指出x的取值范围；

(2)防洪堤的腰长x为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长最小)？求此时外周长的值．

【解析】(1)9＝(AD＋BC)h，

其中AD＝BC＋2·＝BC＋x，h＝x，

所以9＝(2BC＋x)x，

得BC＝－，

由，得2≤x<6.

所以y＝BC＋2x＝＋，(2≤x<6).

(2)y＝＋≥2＝6，

当且仅当＝，即x＝2时等号成立．

所以外周长的最小值为6 m，此时腰长为2 m.