数学选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置第2课时练习题

这是一份数学选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置第2课时练习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
课后素养落实(二十一)　直线与圆的方程的应用(建议用时：40分钟)一、选择题1．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为(　　)A．6 B．4　　　　　C．3　　　　　 D．2B　[圆心(3，－1)到直线x＝－3的距离d＝3－(－3)＝6.则|PQ|的最小值为6－2＝4，故选B．]2．过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)，则圆C的方程是(　　)A．(x－5)2＋y2＝2 B．(x－3)2＋y2＝4C．(x－5)2＋y2＝4 D．(x－3)2＋y2＝2D　[∵直线x－y－1＝0的斜率为1，∴过点B的圆的直径所在直线的斜率为－1.∵B(2,1)，∴此直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0.设圆心C的坐标为(a,3－a)，∵|AC|＝|BC|，即＝，解得a＝3，∴圆心C坐标为(3,0)，半径为.∴圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2.故选D．]3．y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小的面积是(　　)A． B． C． D．πD　[如图，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的.]4．如果实数x，y满足等式(x－1)2＋y2＝，那么的最大值是(　　)A． B．  C． D．D　[的几何意义是圆上的点P(x，y)与原点连线的斜率，结合图形(图略)得，斜率的最大值为，所以max＝.]5．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0交于M，N两点，且M，N关于直线x＋2y＝0对称，则实数k＋m＝(　　)A．－1 B．1  C．0 D．2B　[∵直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0交于M，N两点，且M，N关于直线x＋2y＝0对称，∴直线x＋2y＝0是线段MN的中垂线，得k·＝－1，解之得k＝2，又圆方程为x2＋y2＋2x＋my－4＝0，圆心坐标为，将代入x＋2y＝0，得－1－m＝0，解得m＝－1，故k＋m＝1.故选B．]二、填空题6．实数x，y满足方程x＋y－4＝0，则x2＋y2的最小值为________．8　[x2＋y2表示原点到直线x＋y－4＝0上的点的距离的平方，则x2＋y2的最小值为原点到直线x＋y－4＝0的距离的平方，原点到直线的距离为d＝＝2，则x2＋y2的最小值为8.]7．已知点A(－1,1)和圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线从点A经x轴反射到圆C上的最短路程是________．8　[点A(－1,1)关于x轴的对称点为A′(－1，－1)，则点A′到圆C最短距离就是所求距离，又|A′C|＝＝10，所以所求最短路程为10－2＝8.]8．已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝，则x＋y的最大值为________，最小值为________．－1　－－1　[令x＋y＝b并将其变形为y＝－x＋b.问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时，在y轴上的截距的最值．当直线和圆相切时，在y轴上的截距取得最大值和最小值，此时有＝，解得b＝±－1，即最大值为－1，最小值为－－1.]三、解答题9．已知实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求：(1)的最大值与最小值；(2)的最大值与最小值．[解]　(1)设k＝，则k表示圆上的点P(x，y)与原点连线的斜率，直线OP的方程为y＝kx，当直线OP与圆C相切时，斜率取得最值．由点C(3,3)到直线y＝kx的距离d＝＝，得k＝3±2，即k＝3±2时，直线OP与圆C相切，所以max＝3＋2，min＝3－2.(2)代数式表示圆C上的点到定点(2,0)的距离，圆心(3,3)与定点(2,0)的距离为＝，又圆C的半径是，所以()max＝＋，()min＝－.10．如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)[解]　如图，以O为坐标原点，东西方向为x轴建立平面直角坐标系，则A(40,0)，B(0,30)，圆O方程为x2＋y2＝252.直线AB方程为＋＝1，即3x＋4y－120＝0.设O到AB距离为d，则d＝＝24<25，所以外籍轮船能被海监船监测到．设监测时间为t，则t＝＝0.5(h)．即外籍轮船能被海监船监测到，持续时间为0.5 h.1．方程＝x＋k有唯一解，则实数k的取值范围是(　　)A．{－}B．(－，)C．[－1,1)D．{k|k＝或－1≤k<1}D　[由题意知，直线y＝x＋k与半圆x2＋y2＝1(y≥0)只有一个交点，结合图形(图略)易得－1≤k<1或k＝.]2．过圆外一点P作圆O：x2＋y2＝1的两条切线PM，PN(M，N为切点)，若∠MPN＝90°，则动点P的轨迹方程是(　　)A．x2＋y2＝4 B．x2＋y2＝4(y≠0)C．x2＋y2＝2 D．x2＋y2＝2(y≠0)D　[设点P的坐标为(x，y)，则|PO|＝.∵∠MPN＝90°，∴四边形OMPN为正方形，∴|PO|＝|OM|＝，∴＝，即x2＋y2＝2，故选D．]3．已知圆C：(x－1) 2＋y2＝1，点A(－2,0)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围为________．∪　[由题意知，AB所在直线与圆C相切或相离时，视线不被挡住，直线AB的方程为y＝(x＋2)，即ax－5y＋2a＝0，所以d＝≥1，即a≥或a≤－.]4.如图，正方形ABCD的边长为20米，圆O的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P，Q分别在线段AD，CB上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲区”中，已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动，同时，点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动，则在点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的盲区中的时长约________秒．(精确到0.1)4.4　[以点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设P(－10，－10＋1.5t)，Q(10,10－t)，可得出直线PQ的方程为y－10＋t＝(x－10)，圆O的方程为x2＋y2＝1.由直线PQ与圆O有公共点，可得≤1，化为3t2＋16t－128≤0，解得0≤t≤，而≈4.4，因此，点Q在点P的盲区中的时长约为4.4秒．故答案为4.4.]如图所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m．经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tan∠BCO＝.(1)求新桥BC的长；(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？[解]　(1)如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.由条件知，A(0,60)，C(170,0)，直线BC的斜率kBC＝－tan∠BCO＝－.又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率kAB＝.设点B的坐标为(a，b)，则kBC＝＝－，①kAB＝＝，②联立①②解得a＝80，b＝120.所以BC＝＝150.因此新桥BC的长为150 m.(2)设保护区的边界圆M的半径为r m，OM＝d m(0≤d≤60)．由条件知，直线BC的方程为y＝－(x－170)，即4x＋3y－680＝0.由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，即r＝＝.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，所以即解得10≤d≤35.故当d＝10时，r＝最大，即圆面积最大．所以当OM＝10 m时，圆形保护区的面积最大．