高中人教A版 (2019)2.1 直线的倾斜角与斜率巩固练习

课后素养落实(十一)　倾斜角与斜率

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知直线l的斜率的绝对值等于，则直线l的倾斜角为(　　)

A．60°　　　B．30°　　　C．60°或120°　　D．30°或150°

C　[∵直线l的斜率的绝对值等于，

∴直线l的斜率等于±.设直线l的倾斜角为θ，

∴tan θ＝或tan θ＝－，

∴θ＝60°或120°.

故选C．]

2．经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为60°，则y＝(　　)

A．－2 B．－2 

C．－－2 D．－

B　[由＝＝y＋2，得y＋2＝tan 60°＝，∴y＝－2.]

3.若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)

A．k1<k2<k3

B．k3<k1<k2

C．k3<k2<k1

D．k1<k3<k2

D　[直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，所以0<k3<k2.直线l1的倾斜角为钝角，斜率k1<0，所以k1<k3<k2.]

4．过A(4，y)，B(2，－3)两点的直线的一个方向向量为n＝(－1，－1)，则y＝(　　)

A．－ B． 

C．－1 D．1

C　[法一：由直线上的两点A(4，y)，B(2，－3)，得＝(－2，－3－y)，

又直线AB的一个方向向量为n＝(－1，－1)，因此n∥，

∴(－2)×(－1)－(－3－y)×(－1)＝0，解得y＝－1，故选C．

法二：由直线的方向向量为(－1，－1)得，

直线的斜率为＝1，

所以＝1，解得y＝－1，故选C．]

5．如果直线l过点(1,2)，且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是(　　)

A．[0,1] B．[0,2]

C． D．(0,3]

B　[如图，经过(1,2)和(0,0)的斜率k＝2，若l不通过第四象限，则0≤k≤2.故选B．

]

二、填空题

6．若经过点A(1－t,1＋t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是________．

(－2,1)　[由题意知，kAB＝＝.因为直线的倾斜角为钝角，所以kAB＝<0，解得－2<t<1.]

7．直线l经过点(－1,0)，倾斜角为150°，若将直线l绕点(－1,0)逆时针旋转60°后，得到直线l′，则直线l′的倾斜角为________，斜率为________．

30°　　[如图所示．∵直线l的倾斜角为150°，∴绕点(－1,0)逆时针旋转60°后，所得直线l′的倾斜角α＝(150°＋60°)－180°＝30°， 斜率k＝tan α＝tan 30°＝.]

8．已知点A(1,2)，若在坐标轴上有一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为________．

(3,0)或(0,3)　[由题意知kPA＝－1，若P点在x轴上，则设P(m,0)，则＝－1，解得m＝3；若P点在y轴上，则设P(0，n)，则＝－1，解得n＝3，故P点的坐标为(3,0)或(0,3)．]

三、解答题

9．分别求经过下列两点的直线l的斜率k.

(1)A(a，b)，B(ma，mb)(m≠1，a≠0)；

(2)C(2,1)，D(m,2)．

[解]　(1)∵m≠1，a≠0，∴a≠ma，

∴k＝＝.

(2)当m＝2时，斜率k不存在；

当m≠2时，k＝＝.

10．已知点A(n，－n－3)，B(2，n－1)，C(－1,4)，若直线AC的斜率是直线BC的斜率的3倍，求实数n的值．

[解]　由题意知n≠－1，直线AC的斜率为，直线BC的斜率为，所以＝3×，

整理得n2－3n＋2＝0，解得n＝1或n＝2.

1．(多选题)若两直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，则下列四个命题中错误的是(　　)

A．若α1＜α2，则两直线的斜率：k1＜k2

B．若α1＝α2，则两直线的斜率：k1＝k2

C．若两直线的斜率：k1＜k2，则α1＜α2

D．若两直线的斜率：k1＝k2，则α1＝α2

ABC　[当α1＝30°，α2＝120°，满足α1＜α2，但是两直线的斜率k1＞k2，选项A说法错误；当α1＝α2＝90°时，直线的斜率不存在，无法满足k1＝k2，选项B说法错误；若直线的斜率k1＝－1，k2＝1，满足k1＜k2，但是α1＝135°，α2＝45°，不满足α1＜α2，选项C说法错误；若k1＝k2说明斜率一定存在，则必有α1＝α2，选项D正确．]

2．将直线l向右平移4个单位，再向下平移5个单位后仍回到原来的位置，则此直线的斜率为(　　)

A． B． 

C．－ D．－

C　[设点P(a，b)是直线l上的任意一点，当直线l按题中要求平移后，点P也做同样的平移，平移后的坐标为(a＋4，b－5)，由题意知，这两点都在直线l上，∴直线l的斜率为k＝＝－.]

3．已知直线l的倾斜角的范围是45°≤α≤135°，则直线l的斜率的取值范围是________．

(－∞，－1]∪[1，＋∞)或不存在　[当倾斜角α＝90°时，直线l的斜率不存在；

当45°≤α<90°时，直线l的斜率k＝tan α，则k∈[1，＋∞)；

当90°<α≤135°时，直线l的斜率k＝tan α，则k∈(－∞，－1]．

故直线l的斜率不存在或斜率k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．]

4．设直线l的斜率为k，且－1<k<1，则直线l的倾斜角α的取值范围是________．

{α|0°≤α<45°或135°<α<180°}　[(1)当－1<k<0时，即－1<tan α<0，此时135°<α<180°.

(2)当0≤k<1时，即0≤tan α<1，此时0°≤α<45°.

综上知直线l的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α<45°或135°<α<180°}．]

如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，一边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．

[解]　在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°，

所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°，所以斜率kOD＝kBC＝tan 60°＝；

∵CD∥OB，且OB在x轴上，所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°，所以斜率kOB＝kCD＝0；

由菱形的性质知，∠COB＝×60°＝30°，∠OBD＝60°，

所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°，

所以两条对角线的斜率分别为：kOC＝tan 30°＝，kBD＝tan 120°＝－.