高中数学3.1 椭圆课堂检测

这是一份高中数学3.1 椭圆课堂检测，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
课后素养落实(二十三)　椭圆及其标准方程(建议用时：40分钟)一、选择题1．椭圆＋＝1的焦点坐标是(　　)A．(±5,0)　 B．(0，±5)C．(0，±12) D．(±12,0)C　[由标准方程知，椭圆的焦点在y轴上，且c2＝169－25＝144，∴c＝±12，故焦点为(0，±12)．]2．“2<m<6”是“方程＋＝1为椭圆”的(　　)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件B　[若方程＋＝1表示椭圆，则解得2<m<6且m≠4，所以“2<m<6”是方程“＋＝1为椭圆”的必要不充分条件．]3．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若满足|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，则椭圆C的标准方程为(　　)A．＋＝1 B．＋＝1或＋＝1C．＋＝1 D．＋＝1或＋＝1B　[∵2c＝|F1F2|＝2，∴c＝.∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，∴a＝2.∴b2＝a2－c2＝9.故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.]4．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于(　　)A．5　　　　B．4       C．3　　　　D．1B　[由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(2)2，可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4，故选B．]5．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是(　　)A．圆 B．椭圆C．线段 D．直线B　[设椭圆的右焦点为F2，由题意，知|PO|＝|MF2|，|PF1|＝|MF1|，又|MF1|＋|MF2|＝2a，所以|PO|＋|PF1|＝a>|F1O|＝c，故由椭圆的定义，知点P的轨迹是椭圆．]二、填空题6．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的方程为________．＋＝1　[由题意可得解得故椭圆的方程为＋＝1.]7．已知椭圆＋＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是________．4　[设椭圆的另一个焦点为E，则|MF|＋|ME|＝10，又∵|MF|＝2，∴|ME|＝8，又ON为△MEF的中位线，∴|ON|＝|ME|＝4.]8．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为________．　[如图，由＋＝1，知a2＝9，b2＝7，c2＝2.所以a＝3，b＝，c＝.所以|F1F2|＝2.设|AF1|＝x，则|AF2|＝6－x.因为∠AF1F2＝45°，所以(6－x)2＝x2＋8－4x·.所以x＝.所以S△AF1F2＝×2××＝.]三、解答题9．已知椭圆M与椭圆N：＋＝1有相同的焦点，且椭圆M过点.(1)求椭圆M的标准方程；(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标．[解]　(1)由题意，知椭圆N的焦点为(－2,0)，(2,0)，设椭圆M的方程为＋＝1(a>b>0)，又椭圆M过点，则化简并整理得5b4＋11b2－16＝0，故b2＝1或b2＝－(舍)，a2＝5，故椭圆M的标准方程为＋y2＝1.(2)由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为×4×|y0|＝1，得y0＝±.又＋y＝1，所以x＝，x0＝±，所以点P有4个，它们的坐标分别为，，，.10．设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程．[解]　设点M的坐标是(x，y)，P的坐标是(xP，yP)，因为点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|，所以xP＝x，且yP＝y.因为P在圆x2＋y2＝25上，所以x2＋＝25，整理得＋＝1，即点M的轨迹C的方程是＋＝1.1．P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为(　　)A．60°　　　　B．30°　　　　C．120°　　　　D．150°A　[由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝8，|F1F2|＝2，∴(|PF1|＋|PF2|)2＝64，∵|PF1|·|PF2|＝12，∴|PF1|2＋|PF2|2＝40，在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝＝，∵0°<∠F1PF2<180°，∴∠F1PF2＝60°.]2．椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为(　　)A．± B．±  C．± D．±D　[∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点)，∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是3，∵点P在椭圆上，∴＋＝1，即y2＝，∴y＝±.∴点M的纵坐标为±.]3．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)A．5 B．7  C．13 D．15B　[由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.]4．已知点P(6,8)是椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2为椭圆的两焦点，若·＝0.则椭圆的标准方程是________，sin∠PF1F2＝________.＋＝1　　[因为·＝0，所以－(c＋6)(c－6)＋64＝0，所以c＝10，所以F1(－10,0)，F2(10,0)，所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝12，所以a＝6，b2＝80.所以椭圆方程为＋＝1.如图所示，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则|PM|＝8，|F1M|＝10＋6＝16，所以|PF1|＝＝＝8，所以sin∠PF1F2＝＝＝.]设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，B为椭圆上的点且坐标为(0，－1)．(1)若P是该椭圆上的一个动点，求|PF1|·|PF2|的最大值．(2)若C为椭圆上异于B的一点，且＝λ，求λ的值．(3)设P是该椭圆上的一个动点，求△PBF1的周长的最大值．[解]　(1)因为椭圆的方程为＋y2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝，即|F1F2|＝2，又因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，所以|PF1|·|PF2|≤＝＝4，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时取“＝”，所以|PF1|·|PF2|的最大值为4.(2)设C(x0，y0)，B(0，－1)，F1(－，0)，由＝λ得x0＝，y0＝－.又＋y＝1，所以＋＝1，化简得λ2＋6λ－7＝0，解得λ＝－7或λ＝1，因为点C异于B点，所以λ＝－7.(3)因为|PF1|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|，所以△PBF1的周长≤4＋|BF2|＋|BF1|＝8，所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1的周长最大，最大值为8.