2020-2021学年第二章 直线和圆的方程本章综合与测试复习练习题

这是一份2020-2021学年第二章 直线和圆的方程本章综合与测试复习练习题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

章末综合测评(二)　直线和圆的方程
(满分：150分　时间：120分钟)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若直线经过A(1,0)，B(4，)两点，则直线AB的倾斜角为(　　)
A．30°　　　　B．45°　　　　C．60°　　　　D．120°
A　[由A，B的坐标得kAB＝＝，因此直线AB的倾斜角为30°，故选A．]
2．过点P(－1，)且倾斜角为30°的直线方程为(　　)
A．x－3y＋4＝0
B．x－y＋2＝0
C．x－3y＋2＝0
D．x－y＝0
A　[由倾斜角为30°知，直线的斜率k＝，
因此，其直线方程为y－＝(x＋1)，
化简得，x－3y＋4＝0，故选A．]
3．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是(　　)
A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－4＝0
C．x＋3y－7＝0 D．x－2y＋3＝0
A　[结合图形可知，所求直线为过点(1,2)且与原点和点(1,2)连线垂直的直线，其斜率为－，直线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.]
4．过点(2,0)且与直线2x－4y－1＝0平行的直线方程是(　　)
A．x－2y－1＝0 B．2x＋y－4＝0
C．x－2y－2＝0 D．x＋2y－2＝0
C　[直线2x－4y－1＝0的斜率为k＝，故过点(2,0)的直线方程为y－0＝(x－2)，化简得x－2y－2＝0.]
5．经过点(1,0)且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为(　　)
A．(x－1)2＋y2＝1
B．(x－1)2＋(y－1)2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
B　[由得即所求圆的圆心坐标为(1,1)．由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.]
6．若直线l1：ax＋2y＋6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则a＝(　　)
A．2或－1 B．－1
C．2 D．
B　[依题意得，
解①得，a＝－1或a＝2，
因为a＝－1适合不等式②，a＝2不适合②，
所以a＝－1，故选B．]
7．已知圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0与圆C2：x2＋y2－14x－2y＋a＝0，若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，则实数a＝(　　)
A．14 B．34
C．14或45 D．34或14
D　[设圆C1、圆C2的半径分别为r1、r2.圆C1的方程可化为(x－3)2＋(y＋2)2＝1，
圆C2的方程可化为(x－7)2＋(y－1)2＝50－a.
由两圆相切得，|C1C2|＝r1＋r2或|C1C2|＝|r1－r2|，
∵|C1C2|＝＝5，
∴r2＋1＝5或|1－r2|＝5⇒r2＝4或r2＝6或r2＝－4(舍去)．
因此，50－a＝16或50－a＝36⇒a＝34或a＝14，故选D．]
8．已知圆C的圆心为原点O，且与直线x＋y＋4＝0相切．点P在直线x＝8上，过点P引圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，如图所示，则直线AB恒过定点的坐标为(　　)

A．(2,0) B．(0,2)
C．(1,0) D．(0,1)
A　[依题意得圆C的半径r＝＝4，所以圆C的方程为x2＋y2＝16.
因为PA，PB是圆C的两条切线，
所以OA⊥AP，OB⊥BP，所以A，B在以OP为直径的圆上，设点P的坐标为(8，b)，b∈R，则线段OP的中点坐标为，所以以OP为直径的圆的方程为(x－4)2＋＝42＋，b∈R，化简得x2＋y2－8x－by＝0，b∈R，因为AB为两圆的公共弦，所以直线AB的方程为8x＋by＝16，b∈R，即8(x－2)＋by＝0，所以直线AB恒过定点(2,0)．]
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)
9．下列说法错误的是(　　)
A．“a＝－1”是“直线a2x－y＋1＝0与直线x－ay－2＝0互相垂直”的充要条件
B．直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角θ的取值范围是∪
C．过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为＝
D．经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－2＝0
ACD　[当a＝0时，两直线方程分别为y＝1和x＝2，此时也满足直线相互垂直，故A说法错误；直线的斜率k＝－sin α，则－1≤k≤1，即－1≤tan θ≤1，则θ∈∪，故B说法正确；当x1＝x2或y1＝y2时，直线方程为x＝x1或y＝y1，此时直线方程＝不成立，故C说法错误；若直线过原点，则直线方程为y＝x，此时也满足条件，故D说法错误，故选ACD．]
10．在平面直角坐标系Oxy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值可以是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
AB　[过P点作圆的两条切线，切点分别是A，B，依题意得，四边形PACB是正方形，又C：(x－2)2＋y2＝4，
∴|PC|＝|AC|＝2，
∴P点在以C(2,0)为圆心，2为半径的圆上．
其方程为(x－2)2＋y2＝8.
依题意得，直线y＝k(x＋1)与圆(x－2)2＋y2＝8有公共点，
∴≤2，解得k2－8≤0⇒－2≤k≤2.
故选项AB正确．]
11．已知直线xsin α＋ycos α＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是(　　)
A．直线的倾斜角是π－α
B．无论α如何变化，直线不过原点
C．无论α如何变化，直线总和一个定圆相切
D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
BCD　[根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R，所以A不正确；当x＝y＝0时，xsin α＋ycos α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正确；由点到直线的距离公式得原点到直线的距离为1，所以直线总和单位圆相切，C正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S＝·＝≥1，所以D正确，故选BCD．]
12．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则下列说法错误的是(　　)
A．y－x的最大值为－2
B．x2＋y2的最大值为7＋4
C．的最大值为
D．x＋y的最大值为2＋
CD　[对于A，设z＝y－x，则y＝x＋z，z表示直线y＝x＋z的纵截距，当直线与圆(x－2)2＋y2＝3有公共点时，
≤，解得－－2≤z≤－2，所以y－x的最大值为－2，故A说法正确；对于B，x2＋y2的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为2，则原点到圆上的最大距离为2＋，所以x2＋y2的最大值为(2＋)2＝7＋4，故B说法正确；对于C，的几何意义是表示圆上的点与原点连线的斜率，则的最大值为tan 60°＝，故C说法错误；对于D，设m＝x＋y，则y＝－x＋m，m表示直线y＝－x＋m的纵截距，当直线与圆(x－2)2＋y2＝3有公共点时，≤，解得－＋2≤m≤＋2，所以x＋y的最大值为＋2，故D说法错误．故选CD．]
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．从原点向圆x2＋y2－12y＋27＝0作两条切线，则这两条切线的夹角等于________．
60°　[如图，圆的方程可化为x2＋(y－6)2＝9，圆心为P(0,6)，半径为3，过原点O作圆P的两条切线，切点分别为A，B．
在Rt△PAO中，|OP|＝6，|PA|＝3，
所以∠AOP＝30°，故这两条切线的夹角为60°.]
14．若直线l被直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0截得的线段长为2，则直线l的倾斜角θ(0°≤θ<90°)的值为________．
15°或75°　[易求得平行线l1，l2之间的距离为＝. 画示意图(图略)可知，要使直线l被l1，l2截得的线段长为2，必须使直线l与直线l1，l2成30°的夹角.
∵直线l1，l2的倾斜角为45°，∴直线l的倾斜角为45°－30°＝15°或45°＋30°＝75°.]
15．在平面直角坐标系xOy中，直线l：mx－y－2m－1＝0(m∈R)过定点________，以点(1,0)为圆心且与l相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．
(本题第一空2分，第二空3分)
(2，－1)　(x－1)2＋y2＝2　[根据题意，直线l：mx－y－2m－1＝0，即m(x－2)＝y＋1，
由解得即直线l经过定点(2，－1)．记点(2，－1)，(1,0)分别为点M，点C，
则|MC|＝＝ .
以点(1,0)为圆心且与l相切的所有圆中，半径最大时，r＝|MC|＝.
故半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.]
16．若直线x＋y＋m＝0上存在点P，过点P可作圆O：x2＋y2＝1的两条切线PA，PB，切点为A，B，且∠APB＝60°，则实数m的取值范围为________．
[－2，2]　[若∠APB＝60°，则|OP|＝2，直线x＋y＋m＝0上存在点P，过点P可作圆O：x2＋y2＝1的两条切线PA，PB等价于直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝4有公共点，由圆心到直线的距离公式可得≤2，解之可得m∈[－2，2]．]
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)直线l经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点．
(1)若直线l与直线3x＋y－1＝0平行，求直线l的方程；
(2)若点A(3,1)到直线l的距离为5，求直线l的方程．
[解]　(1)由得
所以交点坐标为(－2,2)，
设直线l的方程为3x＋y＋c＝0(c≠－1)，
把点(－2,2)代入方程得c＝4，
所以直线l的方程为3x＋y＋4＝0.
(2)由(1)知，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－2，
此时点A(3,1)到直线l的距离为5，满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋2＝0，则点A(3,1)到直线l的距离d＝＝＝5，解得k＝，
所以直线l的方程为12x－5y＋34＝0.
综上，直线l的方程为x＝－2或12x－5y＋34＝0.
18．(本小题满分12分)等腰直角△ABC的直角为角C，且点C(0，－1)，斜边AB所在的直线方程为x＋2y－8＝0.
(1)求△ABC的面积；
(2)求斜边AB中点D的坐标．
[解]　(1)顶点C到斜边AB的距离
d＝＝＝2，
所以斜边AB＝2d＝4，
故△ABC的面积S＝×AB×d＝×4×2＝20.
(2)由题意知，CD⊥AB，又kAB＝－，所以kCD＝2，
所以直线CD的方程为y＝2x－1，即2x－y－1＝0，
由解得
所以点D的坐标为(2,3)．
19．(本小题满分12分)已知圆C：x2＋y2－2y－4＝0，直线l：mx－y＋1－m＝0.
(1)判断直线l与圆C的位置关系；
(2)若直线l与圆C交于不同两点A，B，且|AB|＝3，求直线l的方程．
[解]　(1)圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝5，所以圆C的圆心为C(0,1)，半径r＝，圆心C(0,1)到直线l：mx－y＋1－m＝0的距离d＝＝<1<，因此直线l与圆C相交．
(2)设圆心到直线l的距离为d，则d＝＝，又d＝，∴＝，解得m＝±1，∴所求直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.
20．(本小题满分12分)已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；
(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值．
[解]　(1)方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，
∵此方程表示圆，∴5－m>0，∴m<5.
(2)由消去x，得(4－2y)2＋y2－2(4－2y)－4y＋m＝0，
化简得5y2－16y＋m＋8＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则
又＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，
由⊥得·＝0，
∴x1x2＋y1y2＝0，
即y1y2＋(4－2y1)(4－2y2)＝0，
∴16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0，
将①②代入上式得
16－8×＋5×＝0，
解得m＝.
21．(本小题满分12分)某公园有A，B两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路km和2km，且A，B景点间相距2 km，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？
[解]　所选观景点应该保证两景点的视角最大．由平面几何知识知，该点应是过A，B两点的圆与小路所在的直线相切时的切点．以小路所在直线为x轴，B点在y轴正半轴上，建立平面直角坐标系，如图．

由题意，得A(，)，B(0,2)，
设过A，B两点且与x轴相切的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝b2(b>0)，因为圆心在线段AB的垂直平分线上，且易得线段AB的垂直平分线方程为x－y＋＝0.
所以解得或
又要求视角最大，所以a＝0，b＝，
所以圆的方程为x2＋(y－)2＝2.
令y＝0，可得切点坐标为(0,0)，
所以观景点应设在B景点在小路的射影处．
22．(本小题满分12分)已知圆C过点M(0，－2)，N(3,1)，且圆心C在直线x＋2y＋1＝0上．
(1)求圆C的方程．
(2)设直线ax－y＋1＝0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
依题意得解得
所以圆C的方程为x2＋y2－6x＋4y＋4＝0.
(2)假设符合条件的实数a存在．
因为l垂直平分弦AB，故圆心C(3，－2)必在直线l上，
所以l的斜率kPC＝－2，kAB＝a＝－，所以a＝.
由圆C的半径r＝3，圆心C到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝>3，
所以不存在这样的实数a，使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB．