高中人教A版 (2019)5.5 三角恒等变换巩固练习

5.5.2　简单的三角恒等变换

课后训练巩固提升

1.下列各式中,值为的是(　　)

A.sin 15°cos 15° B.cos2-sin2

C. D.

解析:在选项A中,原式=sin30°=;

在选项B中,原式=cos;

在选项C中,原式=tan60°=;

在选项D中,原式=cos30°=.

答案:B

2.若cos α=-,α是第三象限角,则等于(　　)

A.- B. C.2 D.-2

解析:∵α是第三象限角,cosα=-,∴sinα=-,

∴

=

==-.

答案:A

3.若θ∈,sin 2θ=,则sin θ等于(　　)

A. B. C. D.

解析:因为θ∈,所以2θ∈.

所以cos2θ=-=-=-.

因为cos2θ=1-2sin2θ,

所以sin2θ=.

又因为θ∈,所以sinθ=.故选D.

答案:D

4.已知cos θ=-<θ<3π,则sin等于(　　)

A. B.- C. D.-

解析:因为<θ<3π,所以.

所以sin<0.

因为cosθ=1-2sin2,

所以sin=-=-=-.

答案:D

5.化简+2sin2得(　　)

A.2+sin α B.2+sin

C.2 D.2+sin

解析:原式=1+2sincos+1-cos=2+sinα-cos=2+sinα-sinα=2.故选C.

答案:C

6.已知tan=3,则sin 2θ-2cos2θ等于(　　)

A.-1 B.- C. D.-

解析:∵tan=3,∴tanθ=.

∴sin2θ-2cos2θ===-.

答案:B

7.=　　　　　. 

解析:原式===4.

答案:4

8.已知5π<θ<6π,cos=a,则sin的值为　　　　　. 

解析:∵θ∈(5π,6π),∴.

∴sin=-=-.

答案:-

9.已知α∈,sin 2α=,则sin=　　　　　. 

解析:因为1-2sin2=cos=-sin2α,

所以sin2.

因为α∈,所以α+.

所以sin.

答案:

10.函数f(x)=sin+cos的最大值为　　　　　. 

解析:函数f(x)=sin+cos

=sin+cos

=sin+sin

=sin.

答案:

11.求证:tan-tan.

证明:∵左边=tan-tan

=

=

=

==右边,∴原等式成立.

12.已知函数f(x)=sin+2cos2x-1.

(1)求函数f(x)的最大值及其相应x的取值集合;

(2)若<α<且f(α)=,求cos 2α的值.

解:(1)因为f(x)=sin+2cos2x-1

=sin2x·cos-cos2x·sin+cos2x

=sin2x+cos2x=sin,

所以当2x+=2kπ+(k∈Z),

即x=kπ+(k∈Z)时,f(x)max=1.

其相应x的取值集合为.

(2)由题意可知f(α)=sin.

因为<α<,所以<2α+.

所以cos=-.

因此cos2α=cos

=cos·cos+sin·sin

=.