人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）第2课时巩固练习

第2课时　画函数y=Asin(ωx+φ)的图象

课后训练巩固提升

A组

1.已知a是实数,则函数f(x)=1+asin ax的图象不可能是(　　)

解析:本题用排除法,对于D选项,由振幅|a|>1,可知周期T=应小于2π,与图中T>2π矛盾.故选D.

答案:D

2.设g(x)的图象是由函数f(x)=cos 2x的图象向左平移个单位长度得到的,则g等于(　　)

A.1 B.- C.0 D.-1

解析:由f(x)=cos2x的图象向左平移个单位长度得到的是g(x)=cos的图象,则g=cos=cosπ=-1.故选D.

答案:D

3.先把函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向左平移个单位长度,得到一个最小正周期为2π的奇函数g(x)的图象,则ω和φ的值分别为(　　)

A.1, B.2, C. D.

解析:依题意得函数g(x)=2cos.

因为函数g(x)的最小正周期为2π,所以ω=2.

即g(x)=2cos.

又因为函数g(x)为奇函数,

所以φ+=kπ+(k∈Z).

又0<φ<π,所以φ=.

答案:B

4.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示,若将f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,则g(x)的解析式为(　　)

A.y=sin B.y=sin

C.y=sin D.y=sin

解析:结合题中图象可知函数f(x)=sin,其图象上所有的点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),则得到g(x)=sin的图象.

答案:A

5.将函数y=2sin图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再向右平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则下列说法正确的是(　　)

A.函数g(x)的图象的一条对称轴是直线x=

B.函数g(x)的图象的一个对称中心是

C.函数g(x)的图象的一条对称轴是直线x=

D.函数g(x)的图象的一个对称中心是

解析:将函数y=2sin图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),可得y=2sin的图象,再向右平移个单位长度,得到函数y=g(x)=2sin=2cos2x的图象,

令x=,得g(x)=0,故点是g(x)的图象的一个对称中心,故排除选项A;

令x=,得g(x)=-1,故直线x=是g(x)的图象的一条对称轴,故排除选项B,选项C正确;令x=,得g(x)=,可得x=不是g(x)的图象的对称中心的横坐标,故排除选项D.

答案:C

6.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的图象如图所示,则φ=　　　　　. 

解析:由题中图象知函数y=sin(ωx+φ)的周期为2,所以,所以ω=.

因为当x=时,y有最小值-1,

所以+φ=2kπ-(k∈Z).

又-π≤φ<π,所以φ=.

答案:

7.将函数y=cos 2x的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的解析式为　　　　　. 

解析:由题意可知所得图象对应的解析式为y=cos2=cos.

答案:y=cos

8.把函数y=2sin的图象向左平移m个单位长度,所得的图象关于y轴对称,则m的最小正值是　　　　　. 

解析:把y=2sin的图象向左平移m个单位长度,得到y=2sin的图象,由其图象关于y轴对称,可得m+=kπ+,k∈Z,即m=kπ-,k∈Z.

故当k=1时,m的最小正值为.

答案:

9.已知函数f(x)=3sin,x∈R.

(1)列表并画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图.

(2)将函数y=sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象?

解:(1)函数f(x)的周期T==4π.

由x-=0,,π,,2π,分别解得x=.

列表如下:

描出五个关键点并用光滑的线连起来,得到一个周期的简图.图象如下:

(2)先把y=sinx的图象向右平移个单位长度,再把所有点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),最后把所有点的纵坐标扩大到原来的3倍(横坐标不变),得到f(x)的图象.

B组

1.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,其中图象最高点和最低点的横坐标分别为,图象在y轴上的截距为,给出下列四个结论:

①f(x)的最小正周期为π;②f(x)的最大值为2;③f=1;④f为奇函数.

其中正确结论的个数是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

解析:由题中图象可知函数f(x)的最小正周期T=2=π,则ω=2,即f(x)=Asin(2x+φ).

又由f=A,即f=Asin=Asin=A,

所以sin=1,由0<φ<π,解得φ=,

即f(x)=Asin.

又由f(0)=,即Asin,所以A=2,

即f(x)=2sin.

所以函数f(x)的最大值为2.所以①②正确.

又由f=2sin=2cos=1,所以③正确.

又由f=2sin=2sin2x为奇函数,所以④正确.

所以正确结论的个数为4,故选D.

答案:D

2.如图,某大风车的半径为2米,每12秒旋转一周,它的最低点O离地面1米,点O在地面上的射影为点A.风车圆周上一点M从最低点O开始,逆时针方向旋转40秒后到达点P,则点P到点A的距离与点P的高度之和为(　　)

A.5米 B.(4+)米

C.(4+)米 D.(4+)米

解析:以圆心O1为原点,以水平向右的方向为x轴正方向,以竖直向上的方向为y轴正方向,建立平面直角坐标系如图所示.

设∠OO1P=θ,运动t秒后与地面的距离为f(t).由题意可知周期T=12,

所以θ=t.所以f(t)=3-2cost(t≥0).

因为风车圆周上一点M从最低点O开始,逆时针方向旋转40秒后到达点P,所以θ=6π+,P(,1).

所以点P的高度为3-2×=4.

因为A(0,-3),所以AP=.

所以点P到点A的距离与点P的高度之和为(4+)米,故选D.

答案:D

3.设函数f(x)=Asin(ωx+φ)A≠0,ω>0,|φ|<的图象关于直线x=对称,它的周期是π,则(　　)

A.f(x)的图象过点

B.f(x)在上单调递减

C.f(x)图象的一个对称中心是

D.f(x)的最大值是A

解析:∵周期T=π,∴=π,∴ω=2.

又f(x)的图象关于直线x=对称,

∴2×+φ=+kπ(k∈Z).又|φ|<,

∴φ=.∴f(x)=Asin,

∴f(x)的图象过点.∴选项A不正确.

又当x=时,2x+=π,即f=0,

∴点是f(x)图象的一个对称中心.故选项C正确.

∵A的正负不确定,∴选项B,D不正确.

答案:C

4.在函数y=-2sin的图象与x轴的交点中,离原点最近的交点坐标是　　　　　. 

解析:当y=0时,sin=0,

∴4x+=kπ(k∈Z).

∴x=(k∈Z).取k=0,

则x=-;取k=1,则x=.

∴离原点最近的交点坐标是.

答案:

5.若在函数y=sin(ω>0)图象的对称轴中,与y轴距离最小的对称轴方程为x=,则实数ω的值为　　　　　. 

解析:令ωx++kπ(k∈Z),得函数y图象的对称轴方程为x=(k∈Z).

根据题意得k=0,故,解得ω=.

答案:

6.利用“五点法”画出函数y=2sin,x∈的图象,并写出图象在直线y=1上方所对应的x的取值范围.

解:因为x∈,所以0≤2x-≤2π.

列表如下:

描点、连线作图如下:

由y=2sin>1,得sin.

又2x-∈[0,2π],所以<2x-,

解得<x<.

所以当x∈时,图象在直线y=1上方所对应的x的取值范围为.

7.一个缆车示意图如图所示,该缆车半径为4.8 m,圆上最低点与地面的距离为0.8 m,60 s转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动角θ到OB.设点B与地面距离是h.

(1)求h与θ之间的函数解析式;

(2)设从OA开始转动,经过t s后到达OB,求h与t之间的函数解析式,并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少.

解:(1)以圆心O为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,

由题意可知以Ox为始边,OB为终边的角为θ-,

故点B坐标为.

所以h=5.6+4.8sin.

(2)因为点A在圆上转动的角速度是,所以ts转过的弧度数为.所以θ=.

所以h=5.6+4.8sin,t∈[0,+∞).

令h=5.6+4.8sin=10.4,

得sin=1.所以+2kπ,k∈Z.

所以t=30+60k,k∈Z.令k=0,得t=30s.

所以缆车到达最高点时,用的时间最少为30s.