人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制测试题

5.1.2　弧度制

课后训练巩固提升

A组

1.将315°化为弧度为(　　)

A. B. C. D.

解析:315°=.

答案:D

2.与角终边相同的角是(　　)

A. B.2kπ-(k∈Z)

C.2kπ-(k∈Z) D.(2k+1)π+(k∈Z)

解析:选项A错误,=2π+,与角终边相同;选项B正确,2kπ-,k∈Z,当k=2时,2×2π-,与有相同的终边;选项C错误,2kπ-,k∈Z,当k=1时,2×π-,与有相同的终边;选项D错误,(2k+1)π+,k∈Z,当k=0时,(2×0+1)π+.

答案:B

3.设角α=-2弧度,则α所在的象限为(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

解析:∵-π<-2<-,

∴2π-π<2π-2<2π-,即π<2π-2<,

∴2π-2为第三象限角,∴α为第三象限角.

答案:C

4.下列转化结果错误的是(　　)

A.60°化成弧度是 B.-化成角度是-600°

C.化成角度是15° D.-150°化成弧度是-

解析:选项A正确,60°=60×;选项B正确,-=-×180°=-600°;选项C正确,×180°=15°;选项D错误,-150°=-150×=-.

答案:D

5.已知角α=,则与α终边相同的角β的集合是　　　　　　　　　　　　　　　. 

答案:

6.-是第　　　　　象限的角. 

解析:因为-=-6π-,而-是第三象限的角,所以-是第三象限的角.

答案:三

7.用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合.

解:如图,330°角的终边与-30°角的终边相同,-30°=-,而75°=75×,

故终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为.

8.已知α=1 690°,

(1)把角α写成2kπ+β(k∈Z,β∈[0,2π))的形式;

(2)求角θ,使角θ与α终边相同,且θ∈(-4π,4π).

解:(1)1690°=4×360°+250°=4×2π+.

(2)因为θ与α终边相同,所以θ=2kπ+(k∈Z).

又因为θ∈(-4π,4π),所以-4π<2kπ+<4π,

解得-<k<(k∈Z).

所以k=-2,-1,0,1.

所以θ的值是-,-.

9.如图,已知一长为 dm,宽为1 dm的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚,翻滚到第四次时被一小木板挡住,使木块的宽与桌面所成的角为30°.求点A走过的路程及走过的弧度所对扇形的总面积.

解:由题意可知圆弧的半径是2dm,圆心角为;圆弧的半径是1dm,圆心角为;圆弧的半径是dm,圆心角为,故点A走过的路程即为3段圆弧之和,即2×+1×π(dm);扇形的总面积是×2×π+(dm2).

B组

1.下列各组角中,终边相同的角是(　　)

A. B.-

C.,- D.-,-

解析:=6π+=10π-,终边不相同,选项A错误;

=7π+,与-的终边不相同,选项B错误;

的终边在y轴的负半轴上,而-的终边在y轴的正半轴上,终边不相同,选项C错误;

因为-=-2π-,所以-和-的终边相同,选项D正确.

答案:D

2.已知圆O与直线l相切于点A,点P,Q同时从点A出发,点P沿着直线l向右、点Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动,当点Q和点P在如图所示的位置同时停止运动,连接OQ,OP(如图),则阴影部分面积S1,S2的大小关系是(　　)

A.S1=S2

B.S1≤S2

C.S1≥S2

D.先S1<S2,再S1=S2,最后S1>S2

解析:因为直线l与圆O相切,所以OA⊥AP,

所以S△AOP=·AP·OA.

又因为S扇形OAQ=·R=·OA,

且的长与线段AP的长相等,所以S扇形OAQ=S△AOP.

所以S扇形OAQ-S扇形OAB=S△AOP-S扇形OAB,即S1=S2.

答案:A

3.《九章算术》是中国古代著名的数学专著,其中记载了计算弧田(弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形)的面积所用的经验公式:弧田面积=(弦×矢+矢×矢),公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为,弦长为40 m的弧田,其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为(　　)(参考数据:π≈3,≈1.73)

A.15 m2 B.16 m2 C.17 m2 D.18 m2

解析:因为圆心角为,弦长为40m,所以圆心到弦的距离为20,半径为40.

因此根据经验公式计算出弧田的面积为(40×20+20×20)=400+200,

实际面积等于扇形面积减去三角形面积,即×402-×20×40-400.

因此两者之差为-400-(400+200)≈16.

答案:B

4.时钟的分针从1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为　　　　　. 

解析:因为分针每分钟转6°,所以分针从1点到3点20分这段时间里转过的度数为-6°×(2×60+20)=-840°.

所以-840°×=-.

答案:-

5.如图,以正方形ABCD的顶点A为圆心,边AB的长为半径作扇形AEB.若图中两块阴影部分的面积相等,则∠EAD的弧度数大小为　　　　　. 

解析:设正方形的边长为a,∠EAD=α.

由已知可得a2-πa2=αa2,解得α=2-.

答案:2-

6.在Rt△PBO中,∠PBO=90°,以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分△POB的面积,且∠AOB=α弧度,则=　　　　　. 

解析:设扇形的半径为r,则扇形的面积为αr2.在Rt△POB中,PB=rtanα,则△POB的面积为r·rtanα.

由题意得r·rtanα=2×αr2,即tanα=2α,故.

答案:

7.某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌,铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的).已知OA=10,OB=x(0<x<10),线段BA,CD与的长度之和为30 m,圆心角为θ弧度.

(1)求θ关于x的函数解析式;

(2)记铭牌的截面面积为y,试问x取何值时,y的值最大?并求出最大值.

解:(1)根据题意,可算得=x·θ(m),=10θ(m).

因为BA+CD+=30,

所以10-x+10-x+xθ+10θ=30.

所以θ=(0<x<10).

(2)依据题意,可知y=S△OAD-S△OBC=θ×102-θx2,化简得y=-x2+5x+50=-.

所以当x=时,ymax=(m2).

答:当x=m时,铭牌的面积最大,且最大面积为m2.