2021学年5.5 三角恒等变换第2课时课时训练

第2课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式

课后训练巩固提升

A组

1.已知α∈,sin,则sin α等于(　　)

A. B.

C.- D.-

解析:因为α∈,所以<α+.

所以cos=-=-=-.

所以sinα=sin=sincos-cossin=.

答案:B

2.函数f(x)=sin-sin是(　　)

A.周期为π的偶函数 B.周期为2π的偶函数

C.周期为π的奇函数 D.周期为2π的奇函数

解析:因为f(x)=sin-sin

=sinxcos+cosxsin-sinxcos+cosxsincosx,

所以函数f(x)的最小正周期为=2π.

又因为f(x)的定义域为R,且f(-x)=cos(-x)=cosx=f(x),所以函数f(x)为偶函数.

答案:B

3.已知α∈,且sin α=,则tan的值为 (　　)

A. B.7 C.- D.-7

解析:因为α∈,且sinα=,

所以cosα=-.所以tanα=-.

所以tan,故选A.

答案:A

4.若tan 28°tan 32°=a,则tan 28°+tan 32°等于(　　)

A.a B.(1-a) C.(a-1) D.(a+1)

解析:∵tan(28°+32°)=,

∴tan28°+tan32°=(1-a).

答案:B

5.已知-<α<0,且2tan α·sin α=3,则sin的值是(　　)

A.0 B.- C.-1 D.

解析:因为2tanα·sinα==3,

又sin2α+cos2α=1,所以cosα=.

因为-<α<0,所以sinα=-.

所以sinsinα-cosα=-.

答案:B

6.=　　　　　. 

解析:原式=tan(75°-15°)=tan60°=.

答案:

7.sin 155°cos 35°-cos 25°cos 235°=　　　　　. 

解析:原式=sin25°cos35°+cos25°sin35°=sin(25°+35°)=sin60°=.

答案:

8.已知θ为第二象限角,若tan,求cos θ的值.

解:因为tan,

所以tanθ=tan==-.

由

且θ为第二象限角,可得cosθ=-.

9.如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B两点的横坐标分别为.

(1)求tan(α+β)的值;

(2)求α+2β的值.

解:由题意可知cosα=,cosβ=.

∵α,β为锐角,∴sinα=,sinβ=,

∴tanα=7,tanβ=.

(1)tan(α+β)==-3.

(2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]==-1,

∵α,β为锐角,∴0<α+2β<,∴α+2β=.

B组

1.已知tan(α+β)=,tan,则tan的值为(　　)

A. B. C. D.

解析:因为α+=(α+β)-,

所以tan=tan=.

答案:A

2.已知sin α=,α∈,则cos等于(　　)

A. B. C.- D.-

解析:因为α∈,sinα=,

所以cosα=.

所以cos

=.

答案:B

3.已知cos α=,α∈,则sin等于(　　)

A. B. C. D.-

解析:因为α∈,所以sinα<0.

又因为sin2α+cos2α=1,cosα=,

所以sinα=-.

所以sin=sinαcos-cosαsin

=sinα-cosα

==-.

答案:D

4.已知sin(α+β)=,sin(α-β)=-,则=(　　)

A. B. C. D.-

解析:因为sin(α+β)=,sin(α-β)=-,

所以

解得

所以=-.

答案:D

5.若sin α=-,α是第三象限角,则sin=　　　　　. 

解析:∵sinα=-,α是第三象限的角,

∴cosα=-=-.

∴sinsinα+cosα==-.

答案:-

6.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于原点对称.若sin α=,则cos(α+β)=　　　　　. 

解析:∵角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于原点对称,且sinα=,∴sinβ=-.

若α为第一象限角,则cosα=,cosβ=-.

此时cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

==-;

若α为第二象限角,则cosα=-,cosβ=,

此时cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

=-=-.

综上可知,cos(α+β)=-.

答案:-

7.已知α∈,β∈,cos α=,且cos(α-β)=.

(1)求sin的值;

(2)求cos β的值.

解:(1)因为α为第四象限角,cosα=,

所以sinα=-=-.

所以sinsinα+cosα=.

(2)因为α∈,β∈,

所以α-β∈(-π,0).

又因为cos(α-β)=,

所以sin(α-β)=-=-.

所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=.

8.设cos α=-,tan β=,π<α<,0<β<.

(1)求sin(α-β)的值;

(2)求α-β的值.

解:(1)因为π<α<,cosα=-,

所以sinα=-.

又因为0<β<,tanβ=,

所以sinβ=,cosβ=.

所以sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=-=-.

(2)因为0<β<,所以-<-β<0.

又因为π<α<,所以<α-β<.

因为sin(α-β)=-,所以α-β=.