高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换第二课时复习练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换第二课时复习练习题，共5页。试卷主要包含了下列四个选项，化简正确的是，下列式子或叙述正确的为，求下列各式的值等内容，欢迎下载使用。
A级——基础过关练
1．cs 16°cs 44°－cs 74°sin 44°＝( )
A． eq \f(\r(3),2) B．－ eq \f(\r(3),2)
C． eq \f(1,2) D．－ eq \f(1,2)
【答案】C
【解析】cs 16°cs 44°－cs 74°·sin 44°＝cs 16°cs 44°－sin 16°sin 44°＝cs (16°＋44°)＝cs 60°＝ eq \f(1,2).故选C.
2．已知tan α－tan β＝－ eq \f(1,4)，tan (α－β)＝－ eq \f(2,11)，则tan α·tan β等于( )
A．－ eq \f(3,8) B． eq \f(3,8)
C．－ eq \f(8,3) D． eq \f(8,3)
【答案】B
【解析】因为tan α－tan β＝2，tan (α－β)＝－ eq \f(2,11)，所以 eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)＝－ eq \f(2,11)，即tan αtan β＝ eq \f(3,8).
3．已知A＋B＝ eq \f(π,3)，则tan A＋tan B＋ eq \r(3)·tan A tan B－ eq \r(3)的值等于( )
A．－2 eq \r(3) B．2 eq \r(3)
C．0 D．1－ eq \r(3)
【答案】C
【解析】tan A＋tan B＝tan (A＋B)(1－tan A tan B)＝ eq \r(3)(1－tan A tan B)，所以tan A＋tan B＋ eq \r(3)tan A tan B－ eq \r(3)＝0.
4．(多选)下列四个选项，化简正确的是( )
A．cs (－15°)＝ eq \f(\r(6)－\r(2),4)
B．cs 15°cs 105°＋sin 15°sin 105°＝cs (15°－105°)＝0
C．cs (α－35°)cs (25°＋α)＋sin (α－35°)·sin (25°＋α)＝ eq \f(1,2)
D．sin 14°cs 16°＋sin 76°cs 74°＝ eq \f(1,2)
【答案】BCD
【解析】对于A，原式＝cs (30°－45°)＝cs 30°cs 45°＋sin 30°sin 45°＝ eq \f(\r(3),2)× eq \f(\r(2),2)＋ eq \f(1,2)× eq \f(\r(2),2)＝ eq \f(\r(6)＋\r(2),4).对于B，原式＝cs (15°－105°)＝cs (－90°)＝cs 90°＝0，B正确．对于C，原式＝cs [(α－35°)－(25°＋α)]＝cs (－60°)＝cs 60°＝ eq \f(1,2)，C正确．对于D，原式＝cs 76°cs 16°＋sin 76°sin 16°＝cs (76°－16°)＝cs 60°＝ eq \f(1,2)，D正确．故选BCD.
5．已知cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝2cs (π＋α)，且tan (α＋β)＝ eq \f(1,3)，则tan β的值为( )
A．－7 B．7
C．1 D．－1
【答案】B
【解析】因为cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝2cs (π＋α)，所以sin α＝－2cs α，即 tan α＝－2.又因为tan (α＋β)＝ eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝ eq \f(－2＋tan β,1＋2tan β)＝ eq \f(1,3)，解得tan β＝7.故选B.
6．(多选)下列式子或叙述正确的为( )
A．tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＝－tan θ
B．存在α，β，满足tan (α－β)＝tan α－tan β
C．存在α，β，满足tan (α＋β)＝tan α＋tan β
D．对任意α，β，tan (α－β)＝tan α－tan β
【答案】BC
【解析】tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＝ eq \f(sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ)),cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ)))＝ eq \f(cs θ,sin θ)＝ eq \f(1,tan θ)，A不正确；存在α＝β＝ eq \f(π,4)，满足tan (α－β)＝tan α－tan β，B正确；存在α＝0，β＝ eq \f(π,4)，满足tan (α＋β)＝tan α＋tan β，C正确；对任意α，β，tan (α－β)＝ eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)，D错误．故选BC.
7．已知cs (α－β)＝ eq \f(3,5)，sin β＝－ eq \f(5,13)，且α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，则cs α＝( )
A． eq \f(33,65) B． eq \f(56,65)
C．－ eq \f(33,65) D．－ eq \f(56,65)
【答案】B
【解析】因为0＜α＜ eq \f(π,2)，－ eq \f(π,2)＜β＜0，所以0＜α－β＜π.又因为cs (α－β)＝ eq \f(3,5)，所以sin (α－β)＝ eq \f(4,5).因为－ eq \f(π,2)＜β＜0，sin β＝－ eq \f(5,13)，所以cs β＝ eq \f(12,13).所以cs α＝cs [(α－β)＋β]＝cs (α－β)cs β－sin (α－β)sin β＝ eq \f(3,5)× eq \f(12,13)－ eq \f(4,5)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))＝ eq \f(56,65).
8．已知sin x＝ eq \f(4,5)，x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的值等于________．
【答案】－ eq \f(1,7)
【解析】因为sin x＝ eq \f(4,5)，x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以cs x＝－ eq \f(3,5)，tan x＝－ eq \f(4,3).所以tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＝ eq \f(tan x＋tan \f(π,4),1－tan x tan \f(π,4))＝ eq \f(－\f(4,3)＋1,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3))))＝－ eq \f(1,7).
9．已知tan α，tan β是方程2x2＋3x－5＝0的两个实数根，则tan (α＋β)＝________．
【答案】－ eq \f(3,7)
【解析】因为tan α，tan β是方程2x2＋3x－5＝0的两个实数根，所以tan α＋tan β＝－ eq \f(3,2)，tan αtan β＝－ eq \f(5,2).所以tan (α＋β)＝ eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝ eq \f(－\f(3,2),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2))))＝－ eq \f(3,7).
10．求下列各式的值：
(1) eq \f(cs 75°－sin 75°,cs 75°＋sin 75°)；
(2)(1＋tan 25°)(1＋tan 20°).
解：(1)原式＝ eq \f(1－tan 75°,1＋tan 75°)＝ eq \f(tan 45°－tan 75°,1＋tan 45°tan 75°)＝tan (45°－75°)＝tan (－30°)＝－tan 30°＝－ eq \f(\r(3),3).
(2)原式＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 25° tan 20°＝tan (20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)＋1＋tan 25°tan 20°＝2.
B级——能力提升练
11．sin (θ＋75°)＋cs (θ＋45°)－ eq \r(3)cs (θ＋15°)＝( )
A．±1 B．1
C．－1 D．0
【答案】D
【解析】原式＝sin [60°＋(θ＋15°)]＋cs (θ＋45°)－ eq \r(3)cs (θ＋15°)＝－ eq \f(\r(3),2)cs (θ＋15°)＋ eq \f(1,2)sin (θ＋15°)＋cs (θ＋45°)＝sin (θ－45°)＋cs (θ＋45°)＝0.故选D.
12．(多选)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝ eq \f(2\r(3),3)，下列各式正确的是( )
A．A＋B＝2CB．tan (A＋B)＝－ eq \r(3)
C．tan A＝tan BD．cs B＝ eq \r(3)sin A
【答案】CD
【解析】∵C＝120°，∴A＋B＝60°，∴2(A＋B)＝C，∴tan (A＋B)＝ eq \r(3)，∴选项A，B错误；∵tan A＋tan B＝ eq \r(3)(1－tan A·tan B)＝ eq \f(2\r(3),3)，∴tan A·tan B＝ eq \f(1,3)①，又∵tan A＋tan B＝ eq \f(2\r(3),3)②，联立①②解得tan A＝tan B＝ eq \f(\r(3),3)，∴cs B＝ eq \r(3)sin A，故选项C，D正确．
13．已知锐角α，β满足(tan α－1)(tan β－1)＝2，则tan (α＋β)＝________，α＋β＝________.
【答案】－1 eq \f(3π,4)
【解析】因为(tan α－1)·(tan β－1)＝2，所以tan α＋tan β＝tan αtan β－1.因此tan (α＋β)＝ eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝－1.因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝ eq \f(3π,4).
14．二十大报告中提到： “中华优秀传统文化源远流长、博大精深，是中华文明的智慧结晶”．三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若小正方形面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，则tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝________．
【答案】 eq \f(1,7)
【解析】设直角三角形较短的直角边长为a，则较长的直角边长为a＋1，斜边长是5，根据勾股定理得a2＋(a＋1)2＝25，解方程得a＝3，直角三角形中较大的锐角为θ，tan θ＝ eq \f(4,3)，则tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝ eq \f(tan θ－1,1＋tan θ)＝ eq \f(\f(4,3)－1,1＋\f(4,3))＝ eq \f(1,7).
15．已知cs α＝ eq \f(\r(5),5)，sin (α－β)＝ eq \f(\r(10),10)，且α，β∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(1)求cs (2α－β)的值；
(2)求β的值．
解：(1)因为α，β∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以α－β∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))).
又因为sin (α－β)＝ eq \f(\r(10),10)＞0，所以0＜α－β＜ eq \f(π,2).
所以sin α＝ eq \r(1－cs2α)＝ eq \f(2\r(5),5)，
cs(α－β)＝ eq \r(1－sin2(α－β))＝ eq \f(3\r(10),10).
cs(2α－β)＝cs [α＋(α－β)]＝cs αcs (α－β)－sin αsin (α－β)＝ eq \f(\r(5),5)× eq \f(3\r(10),10)－ eq \f(2\r(5),5)× eq \f(\r(10),10)＝ eq \f(\r(2),10).
(2)cs β＝cs [α－(α－β)]＝cs αcs (α－β)＋sin αsin (α－β)＝ eq \f(\r(5),5)× eq \f(3\r(10),10)＋ eq \f(2\r(5),5)× eq \f(\r(10),10)＝ eq \f(\r(2),2).又因为β∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以β＝ eq \f(π,4).