高中数学2.3两角和与差的正切函数随堂练习题

2020-2021学年北师大版必修四  3.2.3 两角和与差的正切函数  作业

一、选择题

1、已知函数，则函数的最小正周期为（  ）

A．    B．    C．    D．

2、若, 是第三象限的角,则（     ）

A．    B．    C．2    D．-2

3、在 △ABC 中，，则角C的度数为（    ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

4、在中，若，则下面等式一定成立的为（  ）

A．    B．    C．    D．

5、若当时,函数取得最大值,则(       )

A．     B．     C．     D．

6、已知函数为锐角，且，则（    ）

A.     B.     C.     D.

7、已知，则（   ）

A．     B．     C．     D．

8、已知是第二象限角，且，则的值为（    ）

A．       B．      C．      D．

9、在中，分别为内角所对的边，，且满足．若点是外一点，，，平面四边形面积的最大值是（    ）．

A． B． C．3 D．

10、若sin2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)

A.     B.     C. 或    D. 或

11、设，则有（    ）

A． B． C． D．

12、已知、为锐角， ， ，则 (    )

A.     B.     C.     D.

二、填空题

13、给出四个命题：

 （1）若，则为等腰三角形；

 （2）若，则为直角三角形；

 （3）若，则为钝角三角形；

 （4）若，则为正三角形，以上正确命题的是         ．

14、函数的最小正周期是________．

15、已知则的值___ 

16、已知，，则______.

三、解答题

17、（本小题满分10分）已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点.

（1）求的值；

（2）若锐角满足，求的值.

18、（本小题满分12分）已知，是关于的一元二次方程的两实根．

（1）求证：；

（2）求证：

19、（本小题满分12分）已知函数（其中，）．

（1）求函数的最小正周期；

（2）若函数的图像关于直线对称，求的值．

参考答案

1、答案C

解析利用同角三角函数之间的关系，结合二倍角的正弦公式与二倍角的余弦公式，将化为，从而可得结果.

详解

，

的最小正周期为，故选C.

点睛

本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式的应用，以及正切函数的周期性，属于中档题.三角函数式的化简，应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．

2、答案A

解析∵， 为第三象限，∴,

∵

．

考点：同角间的三角函数关系，二倍角公式．

3、答案A

解析把已知等式变形后,根据三角函数诱导公式得,再由两角和的正切公式即可得解.

详解

因为,

所以,

所以.

故选:A

点睛

本题考查三角函数诱导公式,两角和的正切公式,属于基础题.

4、答案A

解析根据倍角公式可得，从而，再根据

及两角和的余弦公式整理可得，于是可得，

故得．

详解

∵，

∴，

又，

∴，

∴，

又为三角形的内角，

∴，

∴．

故选A．

点睛

本题考查三角形中的三角变换，解题时注意正确运用公式，还需注意符号问题．另外还要注意三角形中的三个内角间的关系，属于基础题．

5、答案B

解析函数解析式提取5变形后,利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的性质可得结果.

详解

，其中,

当，即时，取得最大值5 ,

，

则，故选B.

点睛

此题考查了两角和与差的正弦函数公式、辅助角公式的应用，以及正弦函数最值，熟练掌握公式是解本题的关键.

6、答案A

解析由题设可知，所以，故，应选答案 A。

7、答案B

解析 由题意

，故选B.

8、答案C

解析

考点1.诱导公式；2.同角间的三角函数关系式；3.二倍角公式

9、答案A

解析由，化为sinBcosA=sinA﹣sinAcosB，

∴sin（A+B）=sinA，

∴sinC=sinA，A，C∈（0，π）．

∴C=A，又b=c，

∴△ABC是等边三角形，

设该三角形的边长为a，则：a2=12+22﹣2×2×cosθ．

则SOACB=×1×2sinθ+a2

=sinθ+（12+22﹣2×2cosθ）

=2sin（θ﹣）+，

当θ=时，SOACB取得最大值．

故选：B．

点睛：四边形的面积往往转化为两个三角形面积之和，从而所求问题转化为三角函数的有界性问题，结合条件易得结果.

10、答案A

解析因为，所以，又，故， ，所以，又，故，于是，所以 ，且，故，故选A.

11、答案A

解析利用两角差的正弦公式化简，分子分母同乘以结合二倍角的正弦公式化简，利用降幂公式化简，从而可得结果.

详解

，

，故选A.

点睛

本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式，两角差的正弦公式，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.

12、答案A

解析∵

∵α为锐角∴

∴

∴.

故选A.

13、答案（3）（4）

解析（1）由可知或，即或,所以为等腰三角形或直角三角形，所以命题（1）错误；（2）由于或即或，所以命题（2）错误；（3），根据降幂公式可得整理的,所以,即,所以,所以为钝角三角形，命题（3）正确；（4）若，因为

可知只有三者均为时才能成立，又,所以,所以为正三角形，从而命题（4）正确，综上可知正确的命题序号为（3）（4）.

考点：三角函数的值域、两角和与差的正余弦公式、二倍角公式及诱导公式等.

方法点晴本题主要考查了三角函数的值域、两角和与差的正余弦公式、二倍角公式，考查了学生的推理、运算能力，属于难题.题目给出了三角形中三内角满足的函数关系式，判断三角形的形状，处理的策略各不相同，（1）主要结合正弦函数的性质即可验证其正确性，（2）利用诱导公式可化成（1）的形式来判断，（3）是本题的难点，通过降幂公式和二倍角公式及和差化积等化成三内角余弦值的积的形式，即可判断其正确性，（4）利用三角函数值域的有界性判断命题成立的条件，可得到三内角间的关系.

14、答案π

解析由

＝故最小正周期为π.

15、答案    

解析

16、答案

解析计算得到，化简得到得到答案.

详解

，，则，

故答案为：

点睛

本题考查了三角函数化简，意在考查学生的计算能力.

17、答案（1）；（2）

（2）由，可求出，进而由，可求出，再结合，可求出答案.

详解：（1）因为角的终边过点，且，所以；

（2）因为角的终边过点，且，所以，

因为为锐角，，所以，

则.

点睛

本题考查利用角的终边上除原点外任意一点的坐标求三角函数值，考查两角和的余弦公式的运用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.

解析

18、答案∵ tan，tan是方程x2+px+2=0的两实根，   ∴ .

（1）.

（2）由，

所以，.

解析

19、答案（1）解：∵，

∴函数的最小正周期为．

（2）解：∵函数

又的图像的对称轴为（），

令，

将代入，得（）．

∵，∴．

解析