苏科版九年级上册2.4 圆周角课后作业题

2021-2022学年苏科版九年级数学上册《2.4圆周角》同步能力提高训练

一、选择题

1．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ABO＝40°，∠ACO＝30°，则∠BOC的度数为（　　）

A．60° B．70° C．120° D．140°

2．如图，A，B，C是⊙O上的三点，且AB⊥OC，∠A＝20°，则∠B的度数是（　　）

A．35° B．40° C．45° D．50°

3．如图，在⊙O中，∠ABC＝51°，则∠AOC等于（　　）

A．51° B．80° C．90° D．102°

4．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝50°，则∠BCD的度数为（　　）

A．40° B．50° C．35° D．55°

5．如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，点P是上任意一点．若AB＝5，BC＝3，则AP的长不可能为（　　）

A．3 B．4 C． D．5

二、解答题

6．如图，AB是⊙O的直径，弦AB，BC相交于点P，AD＝BC．

（1）求证：△ACB≌△BDA；

（2）若∠ABC＝32°，则∠CAP＝　   　°．

7．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，垂足为G，点E在劣弧上，连接CE．

（1）求证：CE平分∠AEB；

（2）连接BC，若BC∥AE，且CG＝4，AB＝6，求BE的长．

8．在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．

（1）如图当PQ∥AB时，求PQ的长；

（2）当点P在BC上移动时，线段PQ长的最大值为　   　；此时，∠POQ的度数为　    　．

9．如图，⊙O中，弦CD与直径AB交于点H．

（1）当∠B+∠D＝90°时，求证：H是CD的中点；

（2）若H为CD的中点，且CD＝2，BD＝，求AB的长．

10．如图，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，AC＝8，BC＝6．

（1）求⊙O的面积；

（2）若D为⊙O上一点，且△ABD为等腰三角形，求CD的长．

11．已知：四边形ABCD是⊙O的内接四边形．求证：∠ABC+∠ADC＝180°．（用两种方法）

12．如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，请找出图中与弦AD相等的线段，并加以证明．

13．如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若DA＝DE，求证：△BCE是等腰三角形．

14．如图：四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点E在弦DC的延长线上，如果∠BOD＝120°，求∠BCE的度数．

15．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．

（1）若∠E＝∠F，求证：∠ADC＝∠ABC；

（2）若∠E＝∠F＝40°，求∠A的度数；

（3）若∠E＝30°，∠F＝40°，求∠A的度数．

16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，若AB＝BE．

（1）求证：DC＝DE；

（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求∠OEB．

17．如图，四边形ABDC内接于⊙O，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接OB、OC、BD、CD．

（1）求证：四边形OBDC是菱形；

（2）若∠ABO＝15°，求∠ADC的度数．

18．如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC、AB相交于点E，若BC＝BE．求证：DA＝DE．

19．如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE＝5，BE＝1，CD＝4，求EC的长．

20．⊙O的两条弦AB，CD交于点P，已知AP＝4，BP＝6，CP＝3，求CD的长．

21．如图，AB为⊙O的弦，M是AB上一点，若AB＝20cm，MB＝8cm，OM＝10cm，求⊙O的半径．

参考答案

1．解：过A作⊙O的直径，交⊙O于D；

在△OAB中，OA＝OB，

即∠OBA＝∠OAB，

则∠BOD＝∠ABO+∠OAB＝2×40°＝80°，

同理可得：∠COD＝∠ACO+∠OAC＝2×30°＝60°，

故∠BOC＝∠BOD+∠COD＝140°，

故选：D．

2．解：∵AB⊥OC，

∴∠ADO＝90°，

∵∠A＝20°，

∴∠AOD＝90°﹣20°＝70°，

∴∠B＝AOD＝＝35°．

故选：A．

3．解：由圆周角定理得，∠AOC＝2∠ABC＝102°，

故选：D．

4．解：

如图，连接AC，

∵AB为直径，

∴∠ACB＝90°，

∵∠ABD＝50°，

∴∠ACD＝∠ABD＝50°，

∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣50°＝40°，

故选：A．

5．解：连接AC，

∵在⊙O中，AB是直径，

∴∠C＝90°，

∵AB＝5，BC＝3，

∴AC＝＝4，

∵点P是上任意一点．

∴4≤AP≤5．

故选：A．

6．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝∠BDA＝90°．

在Rt△ACB与Rt△BDA中，

∵，

∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL）；

（2）解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°．

∵∠ABC＝32°，

∴∠BAC＝90°﹣32°＝58°．

∵Rt△ACB≌Rt△BDA，

∴＝，

∴∠BAD＝32°，

∴∠CAP＝∠BAC﹣∠BAD＝58°﹣32°＝26°．

故答案为：26．

7．（1）证明：∵CD⊥AB，CD是直径，

∴＝．

∴∠AEC＝∠BEC；

∴CE平分∠AEB；

（2）解：∵CD⊥AB，

∴BG＝AG＝3．∠BGC＝90°，

在Rt△BGC中，∵CG＝4，BG＝3，

∴BC＝5，

∵BC∥AE，

∴∠AEC＝∠BCE．

又∠AEC＝∠BEC，

∴∠BCE＝∠BEC

∴BE＝BC＝5．

8．解：（1）解：（1）连接OQ，如图1，

∵PQ∥AB，OP⊥PQ，

∴OP⊥AB，

在Rt△OBP中，∵tan∠B＝，

∴OP＝3tan30°＝，

在Rt△OPQ中，∵OP＝，OQ＝3，

∴PQ＝＝；

（2）连接OQ，如图2，

在Rt△OPQ中，PQ＝＝，

当OP的长最小时，PQ的长最大，

此时OP⊥BC，则OP＝OB＝，

∴PQ长的最大值为＝，

在Rt△QPO中，tan∠POQ＝＝＝，

则∠POQ＝60°，

故答案为：，60°．

9．（1）证明：∵∠B+∠D＝90°，

∴∠BHD＝180°﹣90°＝90°，

即AB⊥CD，

∵AB过O，

∴CH＝DH，

即H是CD的中点；

（2）解：连接OD，

∵H为CD的中点，CD＝2，AB过O，

∴DH＝CH＝CD＝，AB⊥CD，

∴∠BHD＝90°，

由勾股定理得：BH＝＝＝1，

设⊙O的半径为R，则AB＝2R，OB＝OD＝R，

在Rt△OHD中，由勾股定理得：OH2+DH2＝OD2，

即（R﹣1）2+（）2＝R2，

解得：R＝，∴AB＝2×＝3．

10．解：（1）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°．

∴AC＝8，BC＝6，

∴AB＝10．

∴⊙O的面积＝π×52＝25π；

（2）作直径DD′⊥AB，BH⊥CD于H，如图，则＝，

∴AD＝BD，∠ACD＝∠BCD＝45°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴△ADB为等腰直角三角形，

∴DB＝AB＝5，

易得△BCH为等腰直角三角形，

∴CH＝BH＝BC＝3，

在Rt△BDH中，DH＝＝4，

∴CD＝CH+DH＝3+4＝7，

∵DD′是⊙O的直径，

∴∠DCD′＝90°，

∴CD′＝＝，

综上所述，CD的长为或7．

11．证法1：连接OA，OC，

∵∠B＝∠1，∠D＝∠2，

∴∠B+∠D＝（∠1+∠2）＝×360°＝180°；

证法2：如图2，连接CA，BD，

∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∴∠ADC＝∠1+∠3＝∠2+∠4，

∴∠ADC+∠ABC＝∠2+∠4+∠ABC＝180°．

12．解：AD＝AB＝CD，

∵AC平分∠BCD，

∴∠ACD＝∠ACB，

∴，

∴AB＝AD，

∵AD∥BC，

∴∠DAC＝∠ACB，

∴，

∴AB＝CD，

∴AB＝CD＝AD．

13．证明：∵A、B、C、D是⊙O上的四点，

∴∠BCE＝∠A，

∵DA＝DE，

∴∠A＝∠E，

∴∠BCE＝∠E，

∴△BCE是等腰三角形．

14．解：∵∠BOD＝120°，

∴∠A＝∠BOD＝60°，

又∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，

∴∠A+∠BCD＝180°，

∴∠BCD＝180°﹣∠A＝180°﹣60°＝120°，

∵∠BCD+∠BCE＝180°，

∴∠BCE＝180°﹣∠BCD＝60°．

15．解：（1）∠E＝∠F，

∵∠DCE＝∠BCF，

∠ADC＝∠E+∠DCE，∠ABC＝∠F+∠BCF，

∴∠ADC＝∠ABC；

（2）由（1）知∠ADC＝∠ABC，

∵∠EDC＝∠ABC，

∴∠EDC＝∠ADC，

∴∠ADC＝90°，

∴∠A＝90°﹣40°＝50°；

（3）连接EF，如图，

∵四边形ABCD为圆的内接四边形，

∴∠ECD＝∠A，

∵∠ECD＝∠1+∠2，

∴∠A＝∠1+∠2，

∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F＝180°，

∴2∠A+30°+40°＝180°，

∴∠A＝90°﹣＝55°．

16．（1）证明：∵AB＝BE，

∴∠A＝∠AEB．

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠A＝∠DCE，

∴∠DCE＝∠AEB，

∴DC＝DE；

（2）解：∵CD＝DE，

∴△CDE是等腰三角形．

∵EO⊥CD，

∴EO是CD的垂直平分线，

∴ED＝EC，

∴DC＝DE＝EC，

∴△DCE是等边三角形，

∴∠OEB＝30°，

17．（1）证明：连接OD，

∵∠BAC＝60°，

∴∠BOC＝120°，

∵AD平分∠BAC交⊙O于点D，

∴∠BAD＝∠CAD，

∴＝，

∴∠BOD＝∠COD＝60°，

∵OB＝OD＝OC，

∴△BOD和△COD都是等边三角形，

∴OB＝BD＝DC＝OC，

∴四边形OBDC是菱形．

（2）解：连接OA．

∵AO＝OB，

∴∠OBA＝∠OAB＝15°，

∵∠BAC＝60°，

∴∠OAC＝45°，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA＝45°，

∴∠AOC＝90°，

∴∠ADC＝∠AOC＝45°．

18．证明：∵A，B，C，D是⊙O上的四点，

∴∠A+∠BCD＝180°，

∵∠BCE+∠BCD＝180°，

∴∠A＝∠BCE，

∵BC＝BE，

∴∠E＝∠BCE，

∴∠A＝∠E，

∴DA＝DE．

19．解：设EC＝x，则ED＝CD﹣CE＝4﹣x，

根据题意得AE•BE＝CE•DE，

所以x（4﹣x）＝5•1，

整理得x2﹣4x+5＝0，

解得x＝2±，

即EC的长为2+或2﹣．

20．解：∵圆O的弦AB，CD相交于P，

∴AP•PB＝CP•PD，

∵AP＝4，BP＝6，CP＝3，

∴PD＝AP•PB÷CP＝4×6÷3＝8，

∴CD＝CP+PD＝3+8＝11．

即：CD的长是11．

21．解：延长CO交圆于D．

设圆的半径是r，则CM＝r﹣OM＝r﹣10cm，DM＝r+OM＝r+10cm．

∵AB＝20cm，MB＝8cm，

∴AM＝AB﹣MB＝20﹣8＝12cm．

∵DM•CM＝AM•MB，

∴（r+10）（r﹣10）＝12×8＝96，

即r2＝196，

∴r＝14cm．