高中人教A版 (2019)第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直学案

8.6.3　平面与平面垂直

1．二面角的概念

(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．

(2)相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面．

(3)画法：

(4)记法：二面角α­l­β或α­AB­β或P­l­Q或P­AB­Q.

(5)二面角的平面角：若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；

③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α­l­β的平面角是∠AOB.

(6)平面角是直角的二面角叫做直二面角，二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.

思考1：二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？

[提示]　无关．如图，根据等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关．

2．平面与平面垂直

(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

(2)画法：

(3)记作：α⊥β.

(4)判定定理：

思考2：两个平面垂直，则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗？

[提示]　不一定，只有在一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面．

3．平面与平面垂直的性质定理

思考3：如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线吗？

[提示]　正确．若设α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线．

1．如图所示的二面角可记为(　　)

A．α­β­l　　　B．M­l­N　　　C．l­M­N　　　D．l­β­α

B　[根据二面角的记法规则可知B正确．]

2．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面(　　)

A．有一个   B．有两个

C．有无数个   D．不存在

C　[经过l的任一平面都和α垂直．]

3．平面α⊥平面β，直线l⊂α，直线m⊂β，则直线l，m的位置关系是        ．

相交、平行或异面　[根据题意，l，m可能相交、平行或异面．]

4．如图所示，三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B­PA­C的大小等于        ．

 90°　[∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴∠BAC为二面角B­PA­C的平面角，又∠BAC＝90°.所以所求二面角的大小为90°.]

【例1】　 如图，已知三棱锥A­BCD的各棱长均为2，求二面角A­CD­B的余弦值．

 [解]　如图，取CD的中点M，连接AM，BM，则AM⊥CD，BM⊥CD.

由二面角的定义可知∠AMB为二面角A­CD­B的平面角．

设点H是△BCD的重心，

则AH⊥平面BCD，且点H在BM上．

在Rt△AMH中，AM＝×2＝，

HM＝×2×＝，则cos∠AMB＝＝，

即二面角的余弦值为.

1．求二面角大小的步骤

(1)找出这个平面角；

(2)证明这个角是二面角的平面角；

(3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小．

2．确定二面角的平面角的方法：

(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．

(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．

1．如图，AC⊥平面BCD，BD⊥CD, AC＝AD，求平面 ABD 与平面BCD 所成的二面角的大小．

[证明]　因为AC⊥平面 BCD，BD⊂平面 BCD，

所以BD⊥AC.

又因为BD⊥CD，AC∩CD＝C，

所以BD⊥平面 ACD.

因为AD⊂平面 ACD，所以AD⊥BD，

所以∠ADC即为平面 ABD 与平面 BCD 所成二面角的平面角．

在Rt△ACD中，AC＝AD，所以∠ADC＝30°.

【例2】　如图所示，在四面体ABCS 中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.

求证：平面ABC⊥平面SBC.

 [证明]　(1)法一：(利用定义证明)

因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，

所以△ASB和△ASC是等边三角形，

则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，

令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．

取BC的中点D，如图所示，

连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，

所以∠ADS为二面角A­BC­S的平面角．

在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，

所以SD＝a，BD＝＝a.

在Rt△ABD中，AD＝a，

在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，

所以∠ADS＝90°，即二面角A­BC­S为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC.

法二：(利用判定定理)

因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，

所以SA＝AB＝AC，

所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心．

因为△SBC为直角三角形，

所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，

所以AD⊥平面SBC.

又因为AD⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.

\证明面面垂直常用的方法：

(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；

(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直；

(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．

2．如图所示，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD.

[证明]　连接AC，设AC∩BD＝O，连接OE.

因为O为AC中点，E为PA的中点，

所以EO是△PAC的中位线，

所以EO∥PC.

因为PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD.

又因为EO⊂平面BDE，

所以平面BDE⊥平面ABCD.

【例3】　如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.

 求证：BC⊥AB.

[证明]　如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.

∵平面PAB⊥平面PBC，

且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD⊂平面PAB，

∴AD⊥平面PBC.

又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.

又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，

又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.

又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB.

1．证明或判定线面垂直的常用方法：

(1)线面垂直的判定定理；

(2)面面垂直的性质定理；

(3)若a∥b，a⊥α，则b⊥α(a、b为直线，α为平面)；

(4)若a⊥α，α∥β，则a⊥β(a为直线，α，β为平面)；

2．两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线．

3．如图，四棱锥V­ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.

求证：平面VBC⊥平面VAC.

[证明]　∵平面VAB⊥平面ABCD，且BC⊥AB，平面VAB∩平面ABCD＝AB，BC⊂平面ABCD.

∴BC⊥平面VAB，

又VA⊂平面VAB，∴BC⊥VA，

又VB⊥平面VAD，∴VB⊥VA，

又VB∩BC＝B，∴VA⊥平面VBC，

∵VA⊂平面VAC，∴平面VBC⊥平面VAC.

[探究问题]

试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系．

[提示]　垂直问题转化关系如下所示：

【例4】　如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：(1)DE＝DA；

(2)平面BDM⊥平面ECA；

(3)平面DEA⊥平面ECA.

[思路探究]　(1)设出BD，分别求出DE、DA的长度或证明DM⊥AE，即证DM为AE的中垂线即可．

(2)(3)只需证明DM⊥平面ECA即可．

[证明]　(1)设BD＝a，如图，作DF∥BC交CE于F，

则CF＝DB＝a.因为CE⊥平面ABC，

所以BC⊥CF，DF⊥EC，

所以DE＝＝a.

又因为DB⊥平面ABC，

所以DA＝＝a，

所以DE＝DA.

(2)取CA的中点N，连接MN，BN，则MN綊CE綊DB.

所以四边形MNBD为平行四边形，所以MD∥BN.

又因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN，EC⊥MD.

又DE＝DA，M为EA的中点，所以DM⊥AE.

所以DM⊥平面AEC，所以平面BDM⊥平面ECA.

(3)由(2)知DM⊥平面AEC，而DM⊂平面DEA，

所以平面DEA⊥平面ECA.

本例条件不变，试求平面ADE与平面ABC所成二面角的大小．

[解]　如图延长ED交CB延长线于点N，连接AN，设BD＝a，由例题知，CE＝AC＝BC＝AB＝2a，

在△CEN中，由＝知B为CN中点，

∴CB＝BN＝2a.

∴△ABN中，∠ABN＝120°，∠BAN＝∠BNA＝30°，

∴∠CAN＝90°，即NA⊥CA.

又EC⊥平面ABC，∴EC⊥NA，又CA∩CE＝C，

∴NA⊥平面ACE，∴NA⊥AE，NA⊥AC，

且AN为平面ADE与平面ABC的交线．

∴∠CAE为平面ADE与平面ABC所成二面角的平面角，

在Rt△ACE中，AC＝CE，∴∠CAE＝45°.

所以平面ADE与平面ABC所成二面角为45°.

垂直关系的互化及解题策略：

空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等．还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题．

1．求二面角大小的步骤

 简称为“一作、二证、三求”．

2．平面与平面垂直的判定定理的应用思路

(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直．

(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．

3．面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的化归转化思想，其转化关系如下：

1．直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是(　　)

A．平行　　　　　　　　 B．可能重合

C．相交且垂直   D．相交不垂直

C　[由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.]

2．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是(　　)

A．互为余角   B．相等

C．其和为周角   D．互为补角

D　[画图知从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角，所以选D.]

3．已知l⊥平面α，直线m⊂平面β.有下面四个命题：

①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.

其中正确的两个命题是(　　)

A．①②   B．③④

C．②④   D．①③

D　[∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，∵m⊂β，∴l⊥m，故①正确；∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又∵m⊂β，∴α⊥β，故③正确．]

4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，二面角A­BC­A1的平面角等于        ．

45°　[根据正方体中的位置关系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根据二面角的平面角定义可知，∠ABA1 即为二面角A­BC­A1的平面角. 又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1 ＝45°.]

5．如图，棱柱ABC­A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.

证明：平面AB1C⊥平面A1BC1.

[证明]　因为BCC1B1是菱形，

所以B1C⊥BC1，又B1C⊥A1B，且BC1∩A1B＝B，

所以B1C⊥平面A1BC1，

又B1C⊂平面AB1C，

所以平面AB1C⊥平面A1BC1.