高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）课时作业

3.2 函数的性质

【题组一 性质法求单调性（单调区间）】

1．（2020·林芝市第二高级中学高二期中（文））函数的单调递增区间为(       )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】∵函数, ∴函数图像为开口向下的抛物线,且其对称轴为轴

∴函数的单调增区间为.故选:A.

2．（2019·福建高二期末（理））函数的单调增区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】定义域为 恒成立

所以在上单增，在上单增

所以函数的单调增区间是

3．函数y＝的单调区间是(　　)

A．(－∞，1)，(1，＋∞) B．(－∞，1)∪(1，＋∞)

C．{x∈R|x≠1} D．R

【答案】A

【解析】单调区间不能写成集合，故C不对，由于函数的单调区间也不能超出定义域，故D不对，由于函数在(－∞，1)和(1，＋∞)内单调递减，所以B表达不当．故答案为：A.

4．（2019·辽宁大连。高一期末）函数的单调递减区间为　　

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】函数的二次项的系数大于零，

抛物线的开口向上，

二次函数的对称轴是，函数的单调递减区间是 故选A．

5．（2018·唐山市第十一中学高一月考）下列函数中，在上为增函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】对于A选项，函数在上递减.对于B选项，函数在和上递减.对于C选项，函数在上递减，在上递增.对于D选项，函数在上递减，在上递增，故也在上递增，符合题意.故选D.

6．（2020·上海高一课时练习）函数的单调增区间为____________．

【答案】

【解析】函数由 复合而成，单调递减，则的减区间为即为函数的增区间，

所以的增区间为.

【题组二 定义法求单调性（单调区间）】

1．（2020·浙江高一课时练习）已知函数.

（1）用定义证明在区间上是增函数.

（2）求该函数在区间上的最大值与最小值.

【答案】（1）证明见解析；（2），.

【解析】（1）任取，，且，则.

∵，∴，，

∵，即，

故函数在区间上是增函数.

（2）由（1）知函数在区间上是增函数，

∴，.

2．（2020·全国高一）利用单调性的定义，证明函数在上是减函数．

【答案】证明见解析

【解析】证明：设x1，x2是区间上任意两个实数且，则，

∵，∴，，．

∴．

即，．

∴在上是减函数．

3．（2020·全国高一）已知函数，

（1）判断函数的单调性，并证明；

（2）求函数的最大值和最小值.

【答案】（1）增函数.见解析（2），

【解析】（1）设且，

所以

∵∴，

∴即，在上为增函数.

（2）在上为增函数，则，

【题组三 图像法求单调性（单调区间）】

1．（2020·全国高一课时练习）如图是定义在区间，上的函数，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

【答案】答案见解析

【解析】从函数图象上看，当时，图象呈下降趋势，所以为函数的单调减区间，函数在此区间单调递减；从函数图象上看，当时，图象呈上升趋势，所以为函数的单调增区间，函数在此区间单调递增；从函数图象上看，当时，图象呈下降趋势，所以为函数的单调减区间，函数在此区间单调递减；从函数图象上看，当时，图象呈上升趋势，所以为函数的单调增区间，函数在此区间单调递增．

2．（2020·上海高一课时练习）作出下列函数的大致图像，并写出函数的单调区间和值域：

（1）； （2）；（3）；（4）；（5）．

【答案】（1）减区间：和，值域：；

（2）减区间：和，增区间：和，值域：；

（3）增区间：和，减区间：，值域：；

（4）减区间：和，增区间：和，值域：；

（5）减区间：和，增区间：和，值域：，大致图像见解析

【解析】（1），图象如图所示：

函数在和为减函数.因为，所以，故值域为：；

（2），图象如图所示：

函数在和为减函数，在和为增函数，

当时，取得最小值，故值域：；

（3），图象如图所示：

函数在和为增函数，在为减函数，

值域为：.

（4），图象如图所示：

函数在和为减函数，在和为增函数.值域为：；

（5），

函数在和为减函数，在和为增函数，值域为：.

3（2019·深州长江中学高一期中）已知函数

（1）请在给定的坐标系中画出此函数的图象；

（2）写出此函数的定义域及单调区间，并写出值域.

【答案】（1）作图见解析；

（2）定义域为，增区间为，减区间为、、，值域为.

【解析】（1）图象如图所示：

（2）由函数的图象可知，该函数的定义域为，

增区间为，减区间为、、，值域为.

【题组四 利用单调性求参数】

1．（2019·广东顺德一中高一期中）如果函数在区间上是单调递增的，则实数a的取值范围是______．

【答案】.

【解析】由题意得，当时，函数，满足题意，

当时，则，解得，

综合得所求实数的取值范围为.故答案为：.

2．（2020·全国高一课时练习）已知函数在区间上具有单调性，则实数的取值范围为________．

【答案】(－∞，1]∪[2，＋∞)

【解析】∵函数 在区间 上具有单调性，
函数的对称轴为或 故的取值范围为或.

故答案为:．

3．（2020·全国高一课时练习）若函数f(x)＝(4－x)(x－2)在区间(2a，3a－1)上单调递增，则实数a的取值范围是________.

【答案】

【解析】f(x)是开口向下的二次函数，其对称轴x＝3解得故答案为：

4．（2020·全国高一课时练习）函数在上是减函数，且，则的取值范围是________.

【答案】(－1，1)

【解析】函数在上是减函数，且，，解得，故答案为：

5．（2020·天津高二期末）已知，若，则实数的取值范围是____________.

【答案】

【解析】在区间都是增函数，并且在处函数连续，所以在上是增函数，

等价于，解得.故答案为:

6．（2020·浙江高一课时练习）已知函数是上的增函数，且对一切实数都成立，则实数的取值范围是________.

【答案】.

【解析】∵是上的增函数，∴，即对一切都成立，∴.故答案为：．

7．（2020·浙江高一课时练习）若的定义域为且在上是减函数，则下列不等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】，函的定义域为且在上是减函数，可得．故选：B．

8．（2020·全国高一课时练习）若函数的定义域为，且为增函数，，则的取值范围又是什么？

【答案】

【解析】由于函数的定义域为，且为增函数，由，可得，解得.因此，实数的取值范围是.

9．（2020·全国高一课时练习）已知y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，求a的取值范围.

【答案】

【解析】由题意可知，，解得

【题组五 奇偶性的判断】

1．（2020·全国高一专题练习）判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）＝x3＋x；

（2）；

（3）；

（4）

【答案】（1）奇函数；（2）既是奇函数又是偶函数；（3）既不是奇函数也不是偶函数；（4）奇函数.

【解析】（1）函数的定义域为R，关于原点对称．

又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f（x），

因此函数f（x）是奇函数．

（2）由 得x2＝1，即x＝±1.

因此函数的定义域为{－1，1}，关于原点对称．

又f（1）＝f(－1)＝－f(－1)＝0，

所以f（x）既是奇函数又是偶函数．

（3）函数f（x）的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，

不关于原点对称，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数．

（4）函数f（x）的定义域为R，关于原点对称．

f(－x)＝，于是有f(－x)＝－f（x）．

所以f（x）为奇函数．

2．（2019·全国高一课时练习）判断下列函数的奇偶性：

（1）；

（2）．

【答案】(1) 既不是奇函数，也不是偶函数．(2)偶函数．

【解析】（1）由于该函数的定义域为，定义域不关于原点对称，

所以该函数既不是奇函数，也不是偶函数．

（2）函数的定义域为，关于原点对称．

，

所以函数为偶函数．

3．（2018·上海市上南中学高一期中）已知函数，求

（1）函数的定义域；

（2）判断函数的奇偶性.

【答案】(1) 且；(2)奇函数

【解析】（1）由题得得 且x，

所以函数的定义域为且.

（2）由（1）得函数的定义域关于原点对称.

,

所以函数是奇函数.

【题组六 利用奇偶性求解析式】

1．（2016·徐汇。上海中学高一期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为______.

【答案】

【解析】因为是定义在上的奇函数,所以,

当时,,所以,

当时,,

所以.

故答案为: .

2．（2020·浙江高一课时练习）函数在上为奇函数，且当时，，则当时，________．

【答案】

【解析】令，则，∴，

又函数在上为奇函数，则，

即，得，

故当时，．

3．（2020·吉林宁江.松原市实验高级中学高三其他（文））已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，______．

【答案】

【解析】根据题意，设，则，有，

又由为偶函数，则，即，故答案为：．

4．（2020·呼和浩特开来中学高二期末（文））已知定义在R上的奇函数,当时, ,那么当时, 的解析式为（    ）.

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】设,则,

∵∴.故选：D

【题组七  利用奇偶性求参数】

1．（2020·林芝市第二高级中学高二期末（文））已知函数，若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】函数的定义域为，，

函数为奇函数，则.故选：B.

2．（2020·上海高一开学考试）函数在单调递减，且为奇函数.若，则满足的x取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】为奇函数，.

，.

故由，得.

又在单调递减，，

.故选：D

3．（2019·浙江南湖。嘉兴一中高一月考）    设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.

【答案】

【解析】因为函数f(x)＝为奇函数，经检验符合题意.故答案为.

4．（2019·浙江湖州.高一期中）若定义域为的函数是偶函数，则______，______.

【答案】2    0   

【解析】偶函数的定义域为，则，解得，所以，

满足的对称轴关于轴对称，所以对称轴，解得.

故答案为：2；0

5．（2020·辽宁丹东.高一期末）已知是定义域为的奇函数，当时，，那么实数m的值为________，的值为________.

【答案】2    3   

【解析】由于奇函数的定义域为，所以，解得.所以当时，，所以.

故答案为：(1). 2    (2). 3

6．（2019·浙江高一期中）已知是定义在上的偶函数，则实数____，此函数的单调增区间为____．

【答案】2       

【解析】因为是定义在上的偶函数，所以其对称轴为轴；

即，解得；于是，显然其单调增区间为：．故答案为2；

【题组八 单调性与奇偶性的综合运用】

1．（2020·盘锦市第二高级中学高二月考（理））已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在(－∞，0]上单调递减，则满足的实数x的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由题意是偶函数，且在上单调递增，

∴不等式可变为，∴，解得．故选：B．

2．（2019·哈尔滨市第一中学校高三开学考试（文））已知函数为偶函数，当时，，则的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】当时，．

由得或，

解得或，即．所以不等式的解集为.

故选：A.

3．（2020·浙江高一课时练习）已知函数，若在上的值域为，则________.

【答案】.

【解析】由题意知函数在上单调递增，

∴即　解得.

故答案为：．

4．（2019·四川仁寿.高一期中）已知函数为R上的奇函数，当时，，则的解集为______.

【答案】

【解析】因为函数为R上的奇函数,当时,

令,则

则

由奇函数定义可得

,所以

所以   

当时, 即所以,解不等式可得

当时, 成立

当时, 即,所以,解不等式可得

综上所述,不等式成立的解集为

故答案为:

5．（2020·浙江高一课时练习）函数是定义在上的奇函数，且

（1）求函数的解析式；

（2）用定义证明:在上是增函数；

（3）解不等式:

【答案】（1）；（2）见详解；（3）.

【解析】（1）是定义在上的奇函数，

.

又，

.经检验符合题意.

.

（2）设，则

.

，

，

，

所以在上是增函数.

（3）是定义在上的奇函数，

由，得

，

又是定义在上的增函数，

，

解得，

所以原不等式的解集为.

6．（2020·黑龙江萨尔图.大庆实验中学高二期末（理））已知是定义在[-1，1]上的奇函数且，若a､b∈[-1，1]，a+b≠0，有成立.

（1）判断函数在[-1，1]上是增函数还是减函数，并加以证明.

（2）解不等式.

（3）若对所有､， 恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】（1）是增函数，证明见解析;（2） ;（3）

【解析】（1）任取，且，则，

又∵为奇函数，

∴，

由已知得，，

∴，即.

∴在上单调递增.

（2）∵在上单调递增，

∴，∴，

∴不等式的解集为.

（3）因为在[﹣1，1]上是增函数，

所以，即1是的最大值．

若对所有､恒成立，

则有，对恒成立，

即恒成立．

令，它的图象是一条线段，

那么，

解得：．

7．（2019·福建省厦门第六中学高一月考）已知函数是上的奇函数，且当时，，

（1）求函数在的解析式；

（2）在所给的坐标系中画出的图像，并写出函数的单调区间.（作图要求：要标出与坐标轴的交点，顶点）.

【答案】（1）；（2）图象见解析；单调递增区间为和；单调递减区间为和

【解析】（1）当时，   

为奇函数   

又   

（2）图象如下图所示：

由图象可知：的单调递增区间为和；单调递减区间为和

8．（2020·浙江高一课时练习）定义在上的函数，满足，且当时，.

（1）求的值.

（2）求证：.

（3）求证：在上是增函数.

（4）若，解不等式.

（5）比较与的大小.

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）；（5）.

【解析】（1）令，由条件得.

（2），

即.

（3）任取，，且，则.

由（2）得.，即.

∴在上是增函数.

（4）∵，∴，

.

又在上为增函数，∴

解得.

故不等式的解集为.

（5）∵，

，

∵，

∴（当且仅当时取等号）.

又在上是增函数，

∴.

∴.