高中数学人教B版 (2019)必修 第四册9.2 正弦定理与余弦定理的应用导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第四册9.2 正弦定理与余弦定理的应用导学案，共11页。学案主要包含了情境与问题，典例解析等内容，欢迎下载使用。
9.2 正弦定理与余弦定理的应用1.能将实际问题转化为解三角形问题．2.能够用正、余弦定理等知识和方法求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题．3.能根据题意画出几何图形．重点：用正、余弦定理等知识求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题．难点：实际问题转化为解三角形问题．(1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角． (2)方向角从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°. 思考：李尧出校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？提示：东南方向．(3)．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角．如点B的方位角为α．方位角的取值范围：[0°，360°) ．一、情境与问题在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形,例如如图9-2-1所示，故宫角楼的高度因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量。
      假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出脚楼的高度吗？如果能写出你的方案，并给出有关的计算方法，如果不能说明理由。    如图中角楼的高度问题，可以转化为用米尺与测量角度的仪器，怎样得到不便到达的两点之间的距离？      如图9-2-2所示，设线段AB表示不方便到达的两点之间的距离，在能到达的地方选定位置C进行测量，用测量角度的仪器可以测量出的大小，但是因为点A，B都不便到达，所以△ABC的3条边都无法用米尺测量.     如图9-2-3所示，在可到达的地方再选定一点D，并使得CD的长m能用米尺测量，用测量角度的仪器测出 .然后，利用以及m即可求出AB的长，首先，在△BCD中，因为，所以由正弦定理可得因此；同理，从△ACD可得A；最后,在△ABC 中，根据AC,BC，利用余弦定理就可以得出AB的长。二、典例解析例1.如图所示，A，B是某沼泽地上不便到达的两点，C，D是可到达的两点.已知A，B，C，D,4点都在水平面上，而且已经测得∠ACB=，∠BCD=30°，∠CDA=，∠BDA=15°，CD=100m，求AB的长. 例2．如图所示，在某海滨城市A附近的海面出现台风活动.据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向、距城市A300km的海面点P处，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移动.如果台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为km，将问题涉及范围内的地球表面看成平面，判断城市A是否会受到上述台风的影响.如果会，求出受影响的时间；如果不会，说明理由.  1．甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有(　　) A．d1>d2　　B．d1<d2          C．d1>20 m  D．d2<20 m2．如图所示，D，C，B三点在地面的同一直线上，DC＝a，从D，C两点测得A点仰角分别为α，β(α<β)，则点A离地面的高度AB等于(　　)A.       B.           C.       D.3．一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，且与它相距8海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，此船的航速是(　　)海里/小时. A．8(＋)      B．8(－)       C．16(＋)         D．16(－)4．在高出海平面200 m的小岛顶上A处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°，此时两船间的距离为________m.5．海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12海里；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为8海里；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在北偏东120°，求：(1)A处与D处之间的距离；(2)灯塔C与D处之间的距离.6．如图，某海轮以60海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点，求P，C间的距离．1．测量距离问题包括两种情况(1)测量一个可到达点到另一个不可到达点之间的距离．(2)测量两个不可到达点之间的距离．第一种情况实际上是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，用正弦定理即可解决(如图1)；对于第二种情况，首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用正弦定理求三角形边长的问题，然后把BC，AC转化为测量可到达的点与不可到达的点之间的距离问题(如图2)．图1　　　　　　图22．测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．3．测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．  参考答案：学习过程二、典例解析例1.解：因为A，B，C，D，个点都在水平面上，所以，因此，所以Rt△BCD中，.在△ACD中，因为，所以由正弦定理可知，，因此AC=（）m.在△ABC中，由余弦定理可知，从而有AB=（）m.例2．解：如图所示，设台风的中心xh后到达位置Q，且此时.在△AQP中，有=60°-30°=30°，且，，因此由正弦定理可得.从而可解得，所以=60°或=120°.当时，，因此，；当=120°时，，因此，.这就说明，城市A在h后会受到影响，持续的时间为（h）. 达标检测1．【答案】B　[如图，设旗杆高为h，则d1＝，d2＝.因为tan 50°>tan 40°，所以d1<d2.] 2．【答案】A　[结合图形可知∠DAC＝β－α.在△ACD中，由正弦定理得＝，∴AC＝＝.在Rt△ABC中，AB＝ACsin β＝.]3．【答案】D　[由题意得在三角形SAB中，∠BAS＝30°，∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝45°.由正弦定理得＝，即＝，得AB＝8(－)，因此此船的航速为＝16(－)(海里/小时)．]4．【答案】200(＋1)　[过点A作AH⊥BC于点H，由图易知∠BAH＝45°，∠CAH＝60°，AH＝200 m，则BH＝AH＝200 m，CH＝AH·tan 60°＝200 m.故两船距离BC＝BH＋CH＝200(＋1)m.]5．【答案】　由题意，画出示意图．(1)在△ABD中，由已知∠ADB＝60°，B＝45°，AB＝12.由正弦定理得AD＝·sin 45°＝24(海里)．(2)在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos 30°＝242＋(8)2－2×24×8×＝(8)2，∴CD＝8(海里)．即A处与D处之间的距离为24海里，C、D之间的距离为8海里．6．  【答案】因为AB＝40，∠BAP＝120°，∠ABP＝30°，所以∠APB＝30°，所以AP＝40，所以BP2＝AB2＋AP2－2AP·AB·cos 120°＝402＋402－2×40×40×＝402×3，所以BP＝40.又∠PBC＝90°，BC＝80，所以PC2＝BP2＋BC2＝(40)2＋802＝11 200，所以PC＝40海里．