高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线学案设计

直线与双曲线的位置关系

要点一、直线与双曲线的位置关系

直线与双曲线的位置关系

将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.

若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；

若即，

①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；

②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；

③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点．

直线与双曲线的相交弦

设直线交双曲线于点两点，则

==

同理可得

这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：

双曲线的中点弦问题

遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.

在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；

涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化

【典型例题】

类型一：双曲线的方程与性质

例1.设F1、F2是双曲线 (a>0，b>0)的两个焦点，点P在双曲线上，若，且，其中，求双曲线的离心率．

【解析】由双曲线定义知，||PF1|－|PF2||＝2a，

∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2，

又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，∴|PF1|·|PF2|＝2b2，

又，∴2ac＝2b2，

∴b2＝c2－a2＝ac，∴e2－e－1＝0，∴e＝，

即双曲线的离心率为.

举一反三：

【变式1】已知点和的横坐标相同，的纵坐标是的纵坐标的2倍，和的轨迹分别为双曲线和，若的渐近线方程为，则的渐近线方程          .

【答案】

【解析】设点和的坐标为、，则有

又因为的渐近线方程为，故设的方程为，

把点坐标代入，可得，令，即为曲线的渐近线方程，即

【变式2】设双曲线焦点在x轴上，两条渐近线为y＝±x，则该双曲线的离心率为(　　)

A．5      B.       C.       D.

【答案】C

类型二：直线与双曲线的位置关系

例2．已知双曲线x2－y2=4，直线l：y=k(x－1)，讨论直线与双曲线公共点个数.

【解析】联立方程组消去y，并依x聚项整理得：(1－k2)·x2+2k2x－k2－4=0    ①

(1)当1－k2=0即k=±1时，方程①可化为2x=5，x=，方程组只有一组解，

故直线与双曲线只有一个公共点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切).

(2)当1－k2≠0时，即k≠±1，此时有Δ=4·(4－3k2)若4－3k2>0(k2≠1)，

则k∈，方程组有两解，故直线与双曲线有两交点.

(3)若4－3k2=0(k2≠1)，则k=±，方程组有解，故直线与双曲线有一个公共点(相切的情况).

(4)若4－3k2<0且k2≠1则k∈，方程组无解，故直线与双曲线无交点.

综上所述，当k=±1或k=±时，直线与双曲线有一个公共点；

当k∈时，直线与双曲线有两个公共点；

当k∈时，直线与双曲线无公共点.

举一反三：

【变式1】过原点的直线l与双曲线=－1交于两点，则直线l的斜率取值范围是 (     )

A.        B.

C.        D.

【答案】B

【变式2】直线y=x+3与曲线－x·|x|+y2=1的交点个数是 (     )

A.0      B.1      C.2      D.3

【答案】D

例3.过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。

【解析】若直线的斜率不存在时，则，此时仅有一个交点，满足条件；

若直线的斜率存在时，设直线的方程为则，

，  ∴，

，

当时，方程无解，不满足条件；

当时，方程有一解，满足条件；

当时，令，

化简得：无解，所以不满足条件；

所以满足条件的直线有两条和。

举一反三：

【变式】双曲线的右焦点到直线x-y-1=0的距离为,且.

(1)求此双曲线的方程；

(2)设直线y=kx+m(m≠0)与双曲线交于不同两点C、D，若点A坐标为(0，-b)，且|AC|=|AD|，求实数m取值范围。

【答案】（1）

（2）

类型三：双曲线的弦

例4.（1）求直线被双曲线截得的弦长；

（2）求过定点的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程.

解：由得得（*）

设方程（*）的解为，则有   得，

.

（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为，

它被双曲线截得的弦为对应的中点为，

由得（*）

设方程（*）的解为，则 

 ∴，且，

∴，

，得：或.

方法二：设弦的两个端点坐标为，弦中点为，则

得：，

∴，    即， 即（图象的一部分）

举一反三：

【变式1】垂直于直线的直线被双曲线截得的弦长为，求直线的方程

【答案】

【变式2】双曲线的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为（     ）

A.      B.      C.      D.

【答案】C

【变式3】双曲线C的一条渐近线方程是：x―2y=0，且曲线C过点.

（1）求双曲线C的方程；

（2）设曲线C的左、右顶点分别是A1、A2，P为曲线C上任意一点，PA1、PA2分别与直线l：x=1交于M、N，求|MN|的最小值。

【答案】（1）由渐近线方程可知，双曲线C的方程为x2―4y2=k，把代入可得k=4，

所以双曲线方程为。

（2）由双曲线的对称性可知，P在右支上时，|MN|取最小值。

由上可得A1（―2，0），A2（2，0），根据双曲线方程可得，

所以设直线PA1、PA2的斜率分别为k1、k2（k1、k2＞0），

则。PA1的方程为y=k1(x+2)，令x=1，解得M（1，3k1），

PA2的方程为y=k2(x―2)，令x=1，解得N（1，―k2），

所以。

当且仅当3k1=k2，即时等号成立。

类型四：双曲线的综合问题

例5.已知点M(－2，0)，N(2，0)，动点P满足条件|PM|－|PN|=2，动点P的轨迹为W.

(Ⅰ)求W的方程；

(Ⅱ)若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值.

【解析】(Ⅰ) 根据双曲线的定义可得：W的方程为.

(Ⅱ)设A，B的坐标分别为()，()，当AB与x轴不垂直时，

设直线AB的方程为，与W的方程联立：

消去y得

故,  所以

又因为所以从而

当轴时，从而

综上，当AB⊥x轴时， 取得最小值2.

举一反三：

【变式1】一条斜率为1的直线与离心率为的双曲线交于P、Q两点，直线与y轴交于R点，且，求直线和双曲线方程.

【答案】直线方程；

双曲线方程

【巩固练习】

一、选择题

1.平面内两定点的距离为10，则到这两个定点的距离之差的绝对值为12的点的轨迹为(　　)

A．双曲线      B．线段

C．射线        D．不存在

1.答案：　D

解析：设两定点为A、B，则平面内到两定点A、B的距离的差的绝对值小于或等于这两定点的距离

2．双曲线的一个焦点坐标为（3,0），则该双曲线的离心率为（   ）

A．2      B．      C.3      D.

2．答案：　B解析：双曲线的一个焦点坐标为（3,0），

，则 即，则 则双曲线的离心率

3．若实数k满足0＜k＜9，则曲线＝1与曲线＝1的(　　)

A．焦距相等          B．实半轴长相等     

C．虚半轴长相等      D．离心率相等

3. 答案：A解析：当0＜k＜9，则0＜9－k＜9，16＜25－k＜25，

即曲线＝1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2＝25，b2＝9－k，c2＝34－k，

曲线＝1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2＝25－k，b2＝9，c2＝34－k，

即两个双曲线的焦距相等，

4. 已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)、F2(，0)，P是此双曲线上的一点，

且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则该双曲线的方程是(　　)

A.      B.      C.      D．

4. 答案：　C解析：　∵c＝，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，

∴(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝4a2，∴4a2＝4c2－4＝16，∴a2＝4，b2＝1.

5．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，

且顶角为120°，则E的离心率为（    ）

A．      B．      C．      D．

5.答案：　D解析：设双曲线方程为，如图所示，

|AB|=|BM|，∠ABM=120°，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，

在Rt△BMN中，|BN|=a，，故点M的坐标为，

代入双曲线方程得a2=b2=c2－a2，即c2=2a2，所以

6.双曲线的虚轴长为4，离心率e＝，F1、F2分别为它的左、右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项，则|AB|等于(　　)

A．8      B．4      C．2      D．8

6. 答案：　A 解析：　∵＝，2b＝4，∴a2＝8，a＝2，

|AF2|－|AF1|＝2a＝4，|BF2|－|BF1|＝2a＝4，

两式相加得|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝8，

又∵|AF2|＋|BF2|＝2|AB|，|AF1|＋|BF1|＝|AB|，∴|AB|＝8.

二、填空题

7．已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，

则此直线斜率的取值范围是________．

7．答案： 解析：由题知F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，当过点F的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图形，可知该直线斜率的取值范围是

8．过点P(3,0)的直线l与双曲线4x2－9y2＝36只有一个公共点，则这样的直线l共有________条．

8．答案：3 解析：已知双曲线方程为，故P(3,0)为双曲线的右顶点，所以过P点且与双曲线只有一个公共点的直线共有三条(一条切线和两条与渐近线平行的直线)．

9．已知双曲线 (a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，点P在双曲线右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线离心率e的最大值为________．

9. 答案：解析：由|PF1|－|PF2|＝2a及|PF1|＝4|PF2| 得：|PF2|＝，又|PF2|≥c－a，

所以≥c－a，c≤，∴e＝≤，即e的最大值为.

10．设一个圆的圆心在双曲线的上支上，且恰好经过双曲线的上顶点和上焦点，则原点O到该圆圆心的距离是________．

10．答案： 解析：由已知得双曲线的上顶点为A(0,3)，上焦点为F(0,5)，设圆心为P(x0，y0)，

则y0＝＝4.代入双曲线方程得，所以，

故|PO|＝＝.

三、解答题

11．设双曲线C：相交于两个不同的点A、B，求双曲线C的离心率e的取值范围.

11.解析：由C与t相交于两个不同的点，故知方程组：

有两个不同的实数解.消去y并整理得：（1－a2）x2+2a2x－2a2=0.    

双曲线的离心率：

12．设双曲线=1（0<a<b）的半焦距为c，直线过(a，0)，(0，b)两点.已知原点到直线的距离为c，求双曲线的离心率.

12. 解析：由已知，的方程为ay+bx-ab=0,

原点到的距离为，则有,

又c2=a2+b2, ∴，两边平方，得16a2(c2-a2)=3c4.

两边同除以a4并整理得3e4-16e2+16=0，∴e2=4或.

∵ 0<a<b, ,,得,

∴e2=4，故e=2.

13.两共轭双曲线的离心率分别为，证明：=1.

13．解析：证明：双曲线的离心率；

双曲线的离心率.

∴.

14. 如图所示，已知F1，F2为双曲线 (a>0，b>0)的两个焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，求双曲线的渐近线方程．

14. 解析：∵在Rt△F1F2P中，∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2|PF2|.

由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF2|＝2a.

∴|F1F2|＝|PF2|，即2c＝2a，∴c2＝3a2.

又∵c2＝a2＋b2，∴2a2＝b2.∴＝.

故所求双曲线的渐近线方程为y＝±x.

15．圆x2＋y2＝4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图)，双曲线C1：＝1过点P且离心率为．

(Ⅰ)求C1的方程；

(Ⅱ)若椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程．

15. 解析：(Ⅰ)设切点P(x0，y0)，(x0＞0，y0＞0)，则切线的斜率为，

可得切线的方程为，化为x0x＋y0y＝4

令x＝0，可得；令y＝0，可得

∴围成一个三角形的面积S＝

∵4＝，当且仅当时取等号，

∴，此时P

由题意可得，，解得a2＝1，b2＝2

故双曲线C1的方程为

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知双曲线C1的焦点(±，0)，即为椭圆C2的焦点．

可设椭圆C2的方程为 (b1＞0)．

把P()代入可得，解得＝3，

因此椭圆C2的方程为．

由题意可设直线l的方程为x＝my＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立，化为，

∴，．

∴x1＋x2＝，

x1x2＝．

，，

∵，∴＝0，

∴，

∴，解得m＝或m＝－（），

因此直线l的方程为：或．