数学选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.1 直线的倾斜角与斜率导学案

直线的倾斜角与斜率

要点一、直线的倾斜角

平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角.

规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是．

要点诠释：

1.要清楚定义中含有的三个条件

①直线向上方向；②轴正向；③小于的角.

2.从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.

3.倾斜角的范围是.当时，直线与x轴平行或与x轴重合.

4.直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应.

5.已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置.

要点二、直线的斜率

1．定义：

倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即．

要点诠释：

(1)当直线与x轴平行或重合时，=0°，k=tan0°=0；

(2)直线与x轴垂直时，=90°，k不存在.

由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在.

2．直线的倾斜角与斜率之间的关系

由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角(除外)为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然．

要点三、斜率公式

已知点、，且与轴不垂直，

过两点、的直线的斜率公式.

要点诠释：

1.对于上面的斜率公式要注意下面五点：

(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角=90°，直线与x轴垂直；

(2)k与P1、P2顺序无关，即y1，y2和x1，x2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；

(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；

(4)当y1=y2时，斜率k=0，直线的倾斜角=0°，直线与x轴平行或重合；

(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．

2.斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：

(1)由、点的坐标求的值；

(2)已知及中的三个量可求第四个量；

(3)已知及、的横坐标(或纵坐标)可求；

(4)证明三点共线.

要点四、两直线平行的条件

设两条不重合的直线的斜率分别为.若，则与的倾斜角与相等.

由，可得，即.因此，若，则.反之，若，则.

要点诠释：

1.公式成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为；②不重合；

2.当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则.

要点五、两直线垂直的条件

设两条直线的斜率分别为.若，则.

要点诠释：

1.公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；

2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直.

【典型例题】

类型一：直线的倾斜角与斜率

例1．设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线，则直线1的倾斜角为（    ）

A．+45°   

B．－135°

C．135°－

D．当0°≤＜180°时，为+45°，当135°≤＜180°时，为－135°

举一反三：

【变式1】 下列说法中，正确的是（    ）

A．直线的倾斜角为，则此直线的斜率为tan

B．直线的斜率为tan，则此直线的倾斜角为

C．若直线的倾斜角为，则sin＞0

D．任一直线都有倾斜角，但它不一定有斜率

例2．如图所示，直线的倾斜角，直线与垂直，求，的斜率．

举一反三：

【变式1】直线的倾斜角的范围是（   ）

A．      B．       C．      D．

【答案】B【解析】由直线，所以直线的斜率为．

    设直线的倾斜角为，则．又因为，即，

        所以．

类型二：过两点的直线斜率公式的应用

例3．若a∈N，又三点A（a，0），B（0，a+4），C（1，3）共线，求a的值．

举一反三：

【变式1】已知A（―3，―5），B（1，3），C（5，11）三点，试判断这三点是否在同一直线上．

例4．已知直线经过点P（1，1），且与线段MN相交，又M（2，―3），N（―3，―2），

求直线的斜率k的取值范围．

举一反三：

【变式1】知直线过点，且与以为端点的线段相交，求直线斜率的取值范围.

例5．已知实数x，y满足2x+y=8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值．

举一反三：

【变式1】已知函数（0≤x≤1）的图象如图，若0＜x1＜x2＜1，则（    ）

A．      B．

C．      D．前三个判断都不正确

类型三：两条直线平行的条件

例6．已知经过A（―3，3），B（―8，6），经过，，求证：．

举一反三：

【变式1】已知直线：(k―3)x+(4―k)y+1=0与：2(k―3)x―2y+3=0平行，则k的值是________．

例7．已知平行四边形的三个顶点A（―2，1），B（―1，3），C（3，4），求第四个顶点D的坐标．

举一反三：

【变式1】若三条直线ax+y+1=0，x+ay+1=0，x+y+a=0能构成三角形，求a的取值范围。

类型四：两条直线垂直的条件

例8．定点A（―1，3），B（4，2），以A，B为直径的端点，作圆与x轴交于点C，求交点C的坐标．

举一反三：

【变式1】若直线与直线互相垂直，则实数=       ．