人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线学案

直线与抛物线的位置关系

类型一：抛物线的方程与性质

例1．若抛物线通过直线与圆x2＋y2＋6x＝0的两个交点，且以坐标轴为对称轴，求该抛物线的方程．

【变式2】顶点在原点，经过圆C:的圆心且准线与x轴垂直的

抛物线方程为（     ）

A.     B.      C.       D.

类型二：直线与抛物线的位置关系

例2．过定点P(0,2)作直线l，使l与抛物线y2＝4x有且只有一个公共点，这样的直线l共有________条．

举一反三：

【变式】已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．

类型三：抛物线的弦

例3.若直线l：y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，且AB的中点为M(2，y0)，求y0及弦AB的长．

类型四：抛物线的综合问题

例4．过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线相交于P(x1，y1)、Q(x2，y2)两点，

求证：（1）；     （2）为定值。

举一反三：

【变式】抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（    ）

A．      B．1      C．      D．2

例5．定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标

例6．在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1，点M的轨迹为C．

(Ⅰ)求轨迹C的方程；

(Ⅱ)设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．

【巩固练习】

一、选择题

1．抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是(　　)

A.       B.       C．|a|      D．

2．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(　　)

A.      B．3      C.      D.

3．已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P到准线的距离为d，且点P在y轴上的射影是M，

点A(，4)，则|PA|＋|PM|的最小值是(　　)

A.      B．4      C.       D．5

4．与直线4x－y＋3＝0平行的抛物线y＝2x2的切线方程是(　　)

A．4x－y＋1＝0      B．4x－y－1＝0      C．4x－y－2＝0      D．4x－y＋2＝0

5．已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（       ）。

A. 3      B.6      C. 9      D. 12

6．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)

A．x＝1      B．x＝－1      C．x＝2      D．x＝－2

二、填空题

7．如果直线l过定点M(1,2)，且与抛物线y＝2x2有且仅有一个公共点，那么l的方程为________．

8．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.

9．抛物线上距离点A(0，a)(a>0)最近的点恰好是其顶点，则a的取值范围是________．

10．平面直角坐标系xOy中，双曲线的渐近线与抛物线

C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为        

三、解答题

11.已知抛物线y2＝8x，以坐标原点为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长．

12. 已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A、B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6,0)，求此抛物线的方程．

13.若抛物线y2＝2x上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线y＝x＋b对称，且y1y2＝－1，求实数b的值．

14.已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A、B两点．

(1)求证：OA⊥OB.

(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．

15．设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1.

（Ⅰ）求p的值；

（Ⅱ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.