数学选择性必修 第一册3.2 双曲线学案设计

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双曲线的性质要点一、双曲线的简单几何性质1.双曲线的定义：平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2a(2a<)的点的轨迹叫双曲线.双曲线标准方程（焦点在轴）标准方程（焦点在轴）定义第一定义：平面内与两个定点，的距离的差的绝对值是常数（小于）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。  第二定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离的比是常数，当时，动点的轨迹是双曲线。定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数（）叫做双曲线的离心率。  范围，，对称轴轴 ，轴；实轴长为,虚轴长为对称中心原点焦点坐标      焦点在实轴上，；焦距：顶点坐标（,0） (,0)(0, ,)  (0，)离心率准线方程准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：顶点到准线的距离顶点（）到准线（）的距离为顶点（）到准线（）的距离为焦点到准线的距离焦点（）到准线（）的距离为焦点（）到准线（）的距离为渐近线方程共渐近线的双曲线系方程（）（） 2.弦长公式1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于A（x1,y1）B（x2,y2）两点，则  k为直线斜率2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B两点，则弦长.3、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解3.等轴双曲线（a＞0，b＞0）当时称双曲线为等轴双曲线1.；   2.离心率；      3.两渐近线互相垂直，分别为y=；4.等轴双曲线的方程，； 4.直线与双曲线的位置关系代数法：设直线，双曲线联立解得：（1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点；（2）时，存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若，时，，直线与双曲线相交于两点；时，，直线与双曲线相离，没有交点；时，直线与双曲线有一个交点；相切不存在，时，直线与双曲线没有交点；  直线与双曲线相交于两点； 5.双曲线与切线方程1、双曲线上一点处的切线方程是。2、过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是。3、双曲线与直线相切的条件是。     6.双曲线与渐近线的关系1、若双曲线方程为渐近线方程：2、若双曲线方程为（a＞0，b＞0）渐近线方程：    3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为，4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）7. 离心率与渐近线之间的关系1. 2.                  3.  8.面积公式双曲线上一点P与双曲线的两个焦点构成的三角形称之为双曲线焦点三角形，解：在中，设，，，由余弦定理得：∴，即，∴．9.双曲线中点弦的斜率公式：设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 证明：设，，则有，  两式相减得：整理得：，即，因为是弦的中点，所以： ， 所以要点二、双曲线中a,b,c的几何意义及有关线段的几何特征： 双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞b＞0，c＞a＞0，且c2=b2+a2。双曲线，如图： （1）实轴长，虚轴长,焦距，（2）离心率：；（3）顶点到焦点的距离：，；（4）与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角结合起来，建立、之间的关系.      
【典型例题】类型一：双曲线的简单几何性质例1．求双曲线的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程与离心率.      举一反三：【变式1】双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于(　　)A．      B．－4      C．4      D. 【变式2】已知双曲线8kx2－ky2=2的一个焦点为，则k的值等于（    ）A．－2      B．1      C．－1      D． 例2．方程表示双曲线，求实数m的取值范围。      举一反三：【变式1】设双曲线的渐近线方程为，则的值为A．4      B．3      C．2      D．1 【变式2】双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝_______________．  类型二：双曲线的渐近线例3. 根据下列条件，求双曲线方程。（1) 与双曲线有共同的渐近线，且过点；（2）一渐近线方程为，且双曲线过点       举一反三：【变式1】中心在原点，一个焦点在(0,3)，一条渐近线为的双曲线方程是（     ）A、          B、     C、        D、 【变式2】与双曲线有共同的渐近线，且过点（2,2）的双曲线方程为（     ）A.     B.     C.       D. 【变式3】双曲线与有相同的（    ）A．实轴      B．焦点        C．渐近线         D．以上都不对  类型三：求双曲线的离心率或离心率的取值范围例4. 已知是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线的左支交于A、B两点,若是正三角形,求双曲线的离心率。    举一反三：【变式1】(1) 已知双曲线的离心率，过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点间的距离为，求双曲线的方程.     (2) 求过点(-1,3)，且和双曲线有共同渐近线的双曲线方程.     【变式2】已知双曲线=1与x轴正半轴交于A点，F是它的左焦点，设B点坐标为(0，b)，且AB⊥BF，则双曲线的离心率为（     ）A、      B、      C、      D、 【变式3】过双曲线=1 (a＞0,b＞0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为            .     例5.已知双曲线(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，点P在双曲线右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线离心率e的最大值为________．    举一反三：【变式1】已知a、b、c分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程ax2＋bx＋c＝0无实根，则双曲线离心率的取值范围是(　　)A．1<e<－2      B．1<e<2C．1<e<3           D．1<e<2＋ 【变式2】已知过双曲线右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是________．  类型五：双曲线的焦点三角形例6．若F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小． 举一反三： 【变式】已知双曲线，P为双曲线上一点，是双曲线的两个焦点，并且，求的面积。     
【巩固练习】一、选择题1．已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，双曲线的方程应是(　　)A.         B.      C．      D．   2.双曲线与椭圆有相同的焦点,它的一条渐近线方程为,则双曲线的方程为(    )A.      B.       C.       D.    3．过双曲线=1的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是左焦点，若PF1Q=90，则双曲线的离心率是（     ）A.      B.1+      C.2+      D.    4. 已知双曲线＝1(a>0，b>0)的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的3倍，则双曲线的渐近线方程为(　　)A．y＝±x      B．y＝±x      C．y＝±x      D．y＝±3x    5．与双曲线=1有共同的渐近线，且经过点(-3，2)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（    ）A.8      B.4      C.2      D.1   6.已知双曲线（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（   ）A．      B．      C．      D．   二、填空题7．双曲线的离心率e∈(1,2)，则b的取值范围是________． 8．设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线=1 (a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A，B．若点P(m，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是　　   ．   9．双曲线以椭圆的焦点为焦点，离心率是椭圆离心率的2倍，求双曲线的方程为         ．   10．已知是双曲线的右焦点，P是C左支上一点，，当△APF周长最小时，该三角形的面积为         ．     三、解答题11.设F1，F2分别为双曲线(a＞0，b＞0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线方程．     12．设双曲线=1（0<a<b）的半焦距为c，直线过(a,0)，(0,b)两点.已知原点到直线的距离为c，求双曲线的离心率.   13．已知双曲线(a>0，b>0)过点，且点A到双曲线的两条渐近线的距离的积为.求此双曲线方程． 14．已知双曲线的两个焦点分别为，点P在双曲线上且满足，求的面积. 15．双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点。(1)若l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；(2)设，若l的斜率存在，且，求l的斜率.