数学九年级上册24.1.3 弧、弦、圆心角同步练习题

24.1.3  弧、弦、圆心角

自主预习

1．在⊙O中，AB、CD是两条弦．

(1)如果AB＝CD，那么________，________；

(2)如果＝，那么________，________；

(3)如果∠AOB＝∠COD，那么________，________.

1题图                2题图            4题图

2．如图，AD是⊙O的直径，AB＝AC，∠CAB＝120°，根据以上条件写出三个正确结论．(半径相等除外)

(1)________________；  (2)________________；  (3)________________．

3．下列说法中正确的是（　  ）．　

A．相等的圆心角所对的弧相等　        　B．等弧所对的圆心角相等

C．相等的弦所对的弦心距相等　          D．弦心距相等，则弦相等

4．如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.

互动训练

知识点一：圆心角的概念

1. 一条弦把圆分成1∶3两部分，则这条弦所对的圆心角为_____________.

2. 弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是________，该弦所对的圆心角是____________.

3. 如图所示，在⊙O中，AB∥CD，弧AC的度数为45°，则∠COD的度数为       ．

3题图                  4题图                 5题图  

4. 如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，∠A=70°，则∠BOC=          ．

5．如图，已知A、B、C、D四点在⊙O上，AB、CD交于点E，AD＝BC，求证：AB＝CD．

知识点二：同圆或等圆中，弧、弦、圆心角之间的等量关系

6．已知，如图，∠AOB＝∠COD，下列结论不一定成立的是（　　）

A．AB＝CD                        B．  

C．△AOB≌△COD                 D．△AOB、△COD都是等边三角形

6题图                7题图

7．如图，在⊙O中，若点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于（　　）

A．50° B．45° C．40° D．35°

8. 在同圆中，下列四个命题：

(1)圆心角是顶点在圆心的角； (2)两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；

(3)两条弦相等，它们所对的弧也相等； (4)等弧所对的圆心角相等.

其中真命题有（   ）

A.4个     B.3个    C.2个     D.1个

9. 如图，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠B=70°，则∠C=            ．

9题图              10题图           11题图 

10．如图，D，E分别是⊙O的半径OA、OB上的点，CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE，则弧AC与弧BC的大小关系是               ．

11．如图，在⊙O中，AB=AC=5cm，BC=8cm，则⊙O的半径等于             cm.

12. 已知：如图，⊙O中AB=CD．求证：=.

12题图

13．如图，已知以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦CD交小圆于E、F，OE、OF的延长线交大圆于A、B，求证：AC=BD．

13题图

14. 如图，已知A，B，C，D为圆O上的四点，且弧AB=2弧CD，问AB与2CD的关系是否相等?

14题图 

15. 如图，点A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点，连接AB，AD，AF.

求证：AB＋AF＝AD.

15题图

课时达标

1. 如图，在⊙O中，，∠C=72°，则∠B=______，∠A=______．

2．如图，A，B，C，D为圆上顺次四点，且弧AB，BC，CD，DA的度数之比为2︰3︰

4︰1，则∠AOB=_______，∠DOA=______．

3．如图，已知AB和CD为⊙O的两条直径，弦CE∥AB，所对的圆心角的度数为40°，则∠BOC＝________. 

1题图            2题图            3题图             5题图

4．已知、是同圆的两段弧，且＝2，则弦AB与2CD之间的数量关系为( 　)

A．AB＝2CD  B．AB<2CD

C．AB>2CD  D．不能确定

5．如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE，并延长交于点A，

连接OD，OE.如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为(　　)

A．35°         B．38°           C．40°           D．42°

6. 如图，AB是⊙O的直径，，∠COD=35°，求∠AOE的度数．

6题图

7. 如图，AB，BC，AC都是⊙O的弦，且∠AOB＝∠BOC.

求证：(1)∠BAC＝∠BCA；(2)∠ABO＝∠CBO.

7题图

8．如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB＝CD. 求证：∠AOC＝∠BOD.

8题图

9．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半径OA、OB的中点且OA⊥CE、OB⊥DE，

求证：

9题图

10．如图所示，∠AOB＝90°，C，D是的三等分点，AB与OC，OD分别交于点E，F.

求证：AE＝BF＝CD.

10题图

11．已知如图所示，A，B，C是⊙O上三点，∠AOB=120°，C是的中点，试判断四边形OACB形状，并说明理由．

11题图 

拓展探究

1.如图所示，在⊙O中，A，C，D，B是⊙O上四点，OC，OD交AB于点E，F，且AE＝FB，下列结论：①OE＝OF；②AC＝CD＝DB；③CD∥AB；④=，

其中正确的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

1题图                     2题图

2．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，且AE＝BF， 与相等吗？为什么？

3．如图1和图2，MN是⊙O的直径，弦AB、CD相交于MN上的一点P，∠APM=∠CPM．

（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．

（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．

图1                   图2

24.1.3  弧、弦、圆心角 答案

自主预习

1. (1)＝，∠AOB＝∠COD　(2)AB＝CD，∠AOB＝∠COD　(3)AB＝CD，＝　

2．（1）△ACO≌△ABO，（2）AD垂直平分BC，（3）＝.

3. B.

4.证明：∵＝，∴AB＝AC.

又∵∠ACB＝60°，∴△ABC为等边三角形．

∴AB＝AC＝BC. ∴＝=， 

∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.　

互动训练

1. 90°  解析：×360°=90°，∴弦所对的圆心角为90°.

2. ∶2， 90°    3.  90° 

4.125° 提示：因⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，

∴O到三边的距离相等，即O为△ABC的角平分线的交点，

∵∠A=70°，∴∠BOC=180°-(∠B+∠C)

=180°-(180°-∠A)=90°+∠A=90°+35°=125°.

5.证明：∵AD＝BC，∴＝，

∴+＝+，即＝，

∴AB＝CD．

6. D. 解析：∵∠AOB＝∠COD，∴AB＝CD，＝，

∵OA＝OB＝OC＝OD，∴△AOB≌△COD，

∴A. B. C. 成立，则D不成立，

故选：D．

7. C. 解析：∵∠A＝50°，OA＝OB，

∴∠OBA＝∠OAB＝50°，

∴∠AOB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，

∵点C是弧AB的中点，

∴∠BOC＝∠AOB＝40°，

故选：C．

8. A   9. 70°  10.相等   11.

12．∵AB=CD，∴，∴．∴．

13．连结OC、OD，∵OC=OD，OE=OF，

∴∠OCD=∠ODC，∠OEF=∠OFE，

∴∠AOC=∠BOD，∴AC=BD．

14. 解：如图,∵E为弧AB的中,∴.

∴CD=AE=BE. ∵2CD=2AE=2BE=AE+BE，

又∵在△AEB中，AB＜AE+BE，∴AB＜2CD.

15. 证明：如图，连接OB，OF.

15题图 

∵点A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点，

∴AD是⊙O的直径，且∠AOB＝∠AOF＝60°.

又∵OA＝OB，OA＝OF，

∴△AOB，△AOF是等边三角形，

∴AB＝AF＝AO＝OD.

∴AB＋AF＝AO＋OD＝AD.

课时达标

1.  72° ,  36°.

2.  72°,  36°.

3. 70° . 解析：因所对的圆心角的度数为40°，∴∠OCE=70°,

  ∵弦CE∥AB，∠BOC=∠OCE=70°.

4. B.

5. C.

6.解：∠AOE=180°-335°=75°.

7. 证明：(1)∵∠AOB＝∠BOC，

∴AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA.

(2)∵OB＝OA，

∴∠ABO＝∠BAO.

同理，得∠CBO＝∠BCO，∠CAO＝∠ACO.

又∵∠BAC＝∠BCA，∴∠BAO＝∠BCO，

∴∠ABO＝∠CBO.

8. 证明：∵AB＝CD，∴＝，

∴∠AOB＝∠COD，

∴∠AOB－∠BOC＝∠COD－∠BOC，

即∠AOC＝∠BOD.

9．证明：如图，连接OE、OF，

∵D是半径、OB的中点，OB⊥DF，

∴OD=OF,∴∠OFD=30°, 即∠FOD=60°，

同理∠EOA=60°, ∴∠FOD=∠EOA=∠EOF,

∴.

         9题图

10．证明：连接AC，BD.

∵C，D是的三等分点，

∴AC＝CD＝BD，且∠AOC＝×90°＝30°.

∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝75°.

∵∠AOB＝90°，OA＝OB，

∴∠OAE＝∠OBF＝45°，

∴∠AEC＝∠OAE＋∠AOC＝45°＋30°＝75°，

∴AE＝AC.

同理可证BF＝BD，∴AE＝BF＝CD.

10题图

11．解：四边形AOBC是菱形．

证明：连OC，所以∠AOC=∠BOC=×120°=60°，

又因为CO=BO，所以△OBC是等腰三角形，∴OB=BC，

同理△OCA是等边三角形，

∴OA=AC，又∵OA=OB，

∴OA=AC=BC=BO，所以AOBC是菱形．

拓展探究

1.B. 解析：连接OA，OB，

∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA．

在△OAE与△OBF中，，

∴△OAE≌△OBF（SAS），

∴OE＝OF，故①正确；

∠AOE＝∠BOF，即∠AOC＝∠BOD，

∴，故④正确；

连结AD．∵，

∴∠BAD＝∠ADC，

∴CD∥AB，故③正确；

∵∠BOD＝∠AOC不一定等于∠COD，

∴弧AC＝弧BD不一定等于弧CD，

∴AC＝BD不一定等于CD，

故②不正确．

正确的有3个，故选：B．

1题图

2. 解：与相等，

证明：连接OC、OD，

∵AE＝BF，OA＝OB，

∴OE＝OF，

在Rt△COE和Rt△DOF中，

，

∴Rt△COE≌Rt△DOF，

∴∠AOC＝∠BOD，

∴＝．

     2题图

3.解：（1）AB=CD.   如图1.

     图1                     图2

理由：过O作OE、OF分别垂直于AB、CD，垂足分别为E、F，

   ∵∠APM=∠CPM，∴∠DPO=∠BPO，∴ OE=OF .

连结OD、OB且OB=OD

∴Rt△OFD≌Rt△OEB,

∴DF=BE.  根据垂径定理可得：AB=CD.

（2）如图2，作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F,

∵∠APM=∠CPN且OP=OP，∠PEO=∠PFO=90°,

∴Rt△OPE≌Rt△OPF ,    ∴OE=OF.

连接OA、OB、OC、OD

易证Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF.

∴AE+BE=CF+DF， ∴AB=CD.