初中数学第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.1 圆练习题

24.1 圆的有关性质

24.1.3 弧、弦、圆心角

一、教学目标

【知识与技能】

1.理解圆心角概念和圆的旋转不变性.

2.掌握在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系，以及它们在解题过程中的应用.

【过程与方法】

通过学生动手或计算机演示使学生感受圆的旋转不变性，发展学生的观察分析能力.

【情感态度与价值观】

培养学生勇于探索的良好习惯，激发学生探究，发现数学问题的兴趣.

二、课型

新授课

三、课时

1课时。

四、教学重难点

【教学重点】 

圆心角、弧、弦之间的关系，并能运用此关系进行有关计算和证明.

【教学难点】 

理解圆的旋转不变性和定理推论的应用.

五、课前准备 

课件、图片、直尺等.

六、教学过程

（一）导入新课

熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？分成八块呢？（出示课件2）

（二）探索新知

探究一  圆心角的概念

教师问：圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?（出示课件4）

学生思考并观察教师操作进而得出结论.

操作1：将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？（出示课件5）

结论：圆是中心对称图形.

操作2：把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？（出示课件6）

结论：圆是旋转对称图形，具有旋转不变性.

出示课件6：教师问：观察在⊙O中，这些角有什么共同特点？（出示课件7）

学生答：顶点在圆心上.

由此得到:（出示课件8）

1.圆心角：顶点在圆心的角，如∠AOB.

2.圆心角∠AOB所对的弧.

3.圆心角∠AOB所对的弦为AB.

练一练：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.（出示课件9）

生观察后独立解答：①顶点在圆内，但不是圆心，不是圆心角；②顶点在圆外，不是圆心角；③顶点在圆周上，不是圆心角；④是圆心角.

探究二  圆心角、弧、弦之间的关系

如图，在⊙O中，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A'OB'的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？（出示课件10）

学生观察后口答：∠AOB＝∠A′OB′；得到：AB =A＇B＇.

在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，那么，AB与CD，弦AB与弦CD有怎样的数量关系？（出示课件11）

学生观察思考后，教师归纳：由圆的旋转不变性，可得：在⊙O中，如果∠AOB=∠COD，那么，，弦AB=弦CD.

如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′ D，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？（出示课件12）

学生观察思考后，教师归纳：通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，可得，如果∠AOB=∠COD，那么，AB=CD，

师生共同归纳：在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等．（出示课件13）

即

出示课件14：教师问：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？

学生思考后口答：不可以，如图.

师生共同归纳，进一步强化认知：（出示课件15）

教师强调：弧、弦与圆心角关系定理的推论（出示课件16,17）

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．

关系结构图

出示课件18：例1 如图，AB是⊙O 的直径，BC=CD=DE.∠COD=35°，求∠AOE 的度数．

学生独立思考后，师生共同解决.

解：，

巩固练习：判断正误.（出示课件19）

(1)等弦所对的弧相等.（   ）

(2)等弧所对的弦相等.（    ）

(3)圆心角相等，所对的弦相等.（    ）

生思考后口答：⑴×⑵×⑶×

出示课件20：例2  如图，在⊙O中，,∠ACB=60°.

求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.

学生思考交流后，师生共同解答.

证明：

∴AB=AC，△ABC是等腰三角形.

又∵∠ACB=60°，

∴△ABC是等边三角形,AB=BC=CA.

∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.

出示课件21,22：巩固练习：填一填.

如图，AB、CD是⊙O的两条弦．

（1）如果AB=CD，那么________，________．

（2）如果，那么________，__________．

（3）如果∠AOB=∠COD，那么__________，_________．

（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？

学生观察图形交流后，⑴⑵⑶问口答，⑷问板演：

⑴；∠AOB=∠COD；

⑵AB=CD；∠AOB=∠COD；

⑶；AB=CD；

⑷解：OE=OF.

.

（三）课堂练习（出示课件23-27）

1.把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则∠BOC的度数是（　　）

A．120°    B．135°     C．150°     D．165°

2.如果两个圆心角相等，那么  （      ）

A．这两个圆心角所对的弦相等

B．这两个圆心角所对的弧相等

C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等

D．以上说法都不对

3.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于       .

4.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则AB与CD的关系是（       ）

5.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，，

求证:AB＝CD.

6.如图，在⊙O中，2∠AOB=∠COD，那么成立吗？CD=2AB也成立吗？请说明理由；如不是，那它们之间的关系又是什么？

参考答案：

1.C解析：如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，

由题意可得：EO=BO，AB∥DC，

可得∠EBO=30°，

故∠BOD=30°，则∠BOC=150°．

2.D

3.60°

4.A

5.

，

6.解：成立，CD=2AB不成立.

取的中点E,连接OE.

那么∠AOB=∠COE=∠DOE,所以==.

得=2.

CE+DE=2AB，在△CDE中，CE+DE>CD,即CD＜2AB.

教师提醒：在同圆或等圆中，由弧相等可推出对应的弦相等；但当弧有倍数关系时，弦不具备此关系.

（四）课堂小结

通过这堂课的学习，你掌握了哪些基本概念和基本方法?

（五）课前预习

预习下节课（24.1.4）的相关内容.

七、课后作业

配套练习册内容

八、板书设计：

九、教学反思：

1.本节课学生通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，得出了圆的中心对称性、圆心角定理及推论，可以发展学生勇于探索的良好习惯，培养动手解决问题的能力.

2.本节课中，教师应让学生掌握解题方法，即要证弦相等或弧相等或圆心角相等，可先证其中一组量对应相等.掌握这个解题方法有助于提升学生的抽象思维能力.