初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.3 弧、弦、圆心角学案

24.1 圆的有关性质

24.1.3 弧、弦、圆心角

教学目标：

1、理解圆心角的概念．

2、掌握在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角及弦心距之间的关系．

教学重难点：圆的性质的综合应用．

知识点一：圆的旋转不变性

圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．

例题：如图所示的图形绕圆心旋转多少度后能与自身重合？

变式．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，将△ABC绕圆心O逆时针方向旋转α°（0＜α＜90），得到△A′B′C′，若，则∠B的度数为（　　）

A．30° B．45° C．50° D．60°

知识点二：圆心角

定义：角的顶点在圆心的角

例题．如图，MN为⊙O的弦，∠M=50°，则∠MON等于（　　）

A．50° B．55° C．65° D．80°

变式1．如图，已知：AB是⊙O的直径，C、D是上的三等分点，∠AOE=60°，则∠COE是（　　）

A．40° B．60° C．80° D．120°

变式2．已知弦AB把圆周分成2：3的两部分，则弧所对圆心角的度数是（　　）

A．72° B．72°或144° C．144° D．144°或216°

知识点三：圆心角、弧、弦之间的关系

（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．

例题1．如图，在⊙O中=，∠AOB=40°，则∠COD的度数（　　）

A．20° B．40° C．50° D．60°

例题2．如图，在⊙O中，已知=，则AC与BD的关系是（　　）

A．AC=BD B．AC＜BD C．AC＞BD D．不确定

例题3．如图，AB是半圆的直径，∠BAC=20°，D是的中点，则∠DAC的度数是（　　）

A．30° B．35° C．45° D．70°

变式1．如图所示，在⊙O中，，∠A=30°，则∠B=（　　）

A．150° B．75° C．60° D．15°　

变式2．如图，==，已知AB是⊙O的直径，∠BOC=40°，那么∠AOE=（　　）

A．40° B．60° C．80° D．120°

变式3．如图，已知⊙O的半径等于2cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且，则四边形ABCD的周长等于（　　）

A．8 cm B．10 cm C．12 cm D．16 cm　

拓展点一：利用圆心角、弧、弦之间的关系进行计算或证明

例题1．如图所示，△ABC的三个顶点在⊙O上，D是上的点，E是上的点，若∠BAC=50°．则∠D+∠E=（　　）

A．220° B．230° C．240° D．250°°

例题2．如图，AB是半圆O的直径，点C、D、E、F在半圆上，AC=CD=DE=EF=FB，则∠COF=（　　）

A．90° B．100° C．108° D．120°

例题3．如图，AB是⊙O的直径，若∠COA=∠DOB=60°，等于线段AO长的线段有（　　）

A．3条 B．4条 C．5条 D．6条

变式1．如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是　   　．

变式2．如图，AB是⊙O的直径，点C是半圆上的一个三等分点，点D是的中点，点P是直径AB上一点，若⊙O的半径为2，则PC+PD的最小值是　   　．

变式3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC=40°，D是BC弧的中点，则∠ACD=　  　．

变式4．如图，已知AB是⊙O的直径，PA=PB，∠P=60°，则弧CD所对的圆心角等于　 　度．

例题4．如图，在⊙O中，=，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD=BE．

例题5．已知如图所示，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，弧AC和弧BC相等，M、N分别是OA、OB的中点．求证：MC=NC．

变式1．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，过点A作AE∥CD交⊙O于点E，连接BD，DE，求证：BD=DE．

变式2．如图，AB是⊙O的直径，C，E是⊙O上的两点，CD⊥AB于D，交BE于F，=．求证：BF=CF．

拓展点二：垂径定理与圆心角、弧、弦之间关系的综合应用

例题1.如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A=50°，则∠BOC=（　　）

A．40° B．45° C．50° D．60°

例题2．如图，AB、AC是⊙O的弦，直径AD平分∠BAC，给出下列结论：①AB=AC；②=；③AD⊥BC；④AB⊥AC．其中正确结论的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

变式1．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（　　）

A．AD=AB B．∠D+∠BOC=90° C．∠BOC=2∠D D．∠D=∠B

变式2．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，若∠CAB=25°，则∠ADC的度数为（　　）

A．65° B．55° C．60° D．75°

变式3．如图是小明完成的．作法是：取⊙O的直径AB，在⊙O上任取一点C引弦CD⊥AB．当C点在半圆上移动时（C点不与A、B重合），∠OCD的平分线与⊙O的交点必（　　）

A．平分弧AB B．三等分弧AB

C．到点D和直径AB的距离相等 D．到点B和点C的距离相等

易错点：误认为同圆中弧及弧所对的弦有相同的倍数关系

例题．如图，⊙O中，如果∠AOB=2∠COD，那么（　　）

A．AB=DC B．AB＜DC C．AB＜2DC D．AB＞2DC

变式1．在同圆中，若AB=2CD，则与的大小关系是（　　）

A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB=2CD D．不能确定

变式2．如图，已知点A，B，C均在⊙O上，并且四边形OABC是菱形，那么∠AOC与2∠OAB之间的关系是（　　）

A．∠AOC＞2∠OAB B．∠AOC=2∠OAB C．∠AOC＜2∠OAB D．不能确定