初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.4 圆周角第2课时综合训练题

24.1.4   圆周角（第2课时）

自主预习

1．如图，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点，从数学角度看，此时甲是自己射门好，还是将球传给乙，让乙射门好？

1题图               

2．如图所示，在小岛周围的内有暗礁，在A、B两点建两座航标灯塔，且∠APB=θ，船要在两航标灯北侧经过暗礁区，应怎样航行？为什么？

2题图

互动训练

知识点一：圆周角性质

1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的大小为（　　）

A．54° B．62° C．72° D．82°

2．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为（　　）

A．100° B．110° C．120° D．130°

         1题图             2题图          3题图             4题图

3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，连接AC．若∠DAB＝50°，则∠B的度数为（　　）

A．50° B．65° C．75° D．130°

4.（2020•辽宁营口）如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（　　）

A．110° B．130° C．140° D．160°

5．如图，等腰△ABC的底边BC的长为a，以腰AB为直径的⊙O交BC于D点，则BD的长为________．

5题图        6题图

6．如图，已知圆心角∠AOB的度数为100°，则圆周角∠ACB等于             °．

7．如图，ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=130°，则∠AOC的度数是            ．

7题图                          8题图

8．如图，∠ACD=15°，且，则∠BEC=              ．

知识点二：圆周角性质的应用

9. 如图，AB是半圆O的直径，∠BAD=30°，C是弧AD上任意一点，那么∠C的度数是（     ）

A．150°         B．120°         C．100°         D．90°

9题图                 10题图

10．如图正方形ABCD内接于⊙O，P是劣弧AD上任意一点，则∠ABP+∠DCP等于（  ）

A．90°     B．60°     C．45°     D．30°

11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A＝n°，则∠DCE＝（　）

A．（180﹣n）° B．n° C．（90﹣n）° D．（90+n）°

   11题图                        12题图              13题图

12．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠C＝1：2，则∠A的度数等于（　　）

A．30° B．45° C．60° D．80°

13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的度数为（　）

A．30° B．45° C．60° D．75°

14．已知圆内接四边形相邻三个内角度数的比为2∶1∶7，求这个四边形各内角的度数．

15．我们知道：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，类似的，我们定义：顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角叫圆外角，顶点在圆内，并且两边都和圆相交的角叫圆内角，如图，∠DPB是圆外角，∠DQB是圆内角，那么∠DPB、∠DQB的度数与它所夹的两段、所对的圆心角∠BOD、∠AOC有什么关系？并说明你的结论．

15题图

课时达标

1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝80°，∠C＝　   　°．

1题图                 2题图            3题图          4题图

2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOC＝∠B，则∠D的度数为　    　°．

3.  (2020•江苏盐城)如图，在⊙O中，点A在上，∠BOC＝100°．则∠BAC＝　  　°．

4．如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝62°，∠E＝24°，则∠F＝　    　．

5．圆内接四边形ABCD中，对角∠A与∠C的度数的比为4：5，则∠C＝　    　．

6．如图，AC是⊙O的直径，弦AB∥CD，若∠BAC=32°，则∠AOD等于(    )．

A．64°            B．48°          C．32°        D．76°

6题图                7题图               8题图          9题图

7．如图，弦AB，CD相交于E点，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，则∠AOD等于(    )．

A．37°           B．74°          C．54°        D．64°

8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于(   )．

A．69°           B．42°          C．48°        D．38°

9．如图，△ABC内接于⊙O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，BD交AC于点E，连结DC，则∠AEB等于(    )．

A．70°           B．90°          C．110°        D．120°

10.已知如图，AE是⊙O的直径，AF⊥BC于D，证明：BE＝CF

10题图

11．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ADC＝60°，＝．请判断△ABC的形状，并说明理由．

11题图

12．如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G．

求证：∠FGD＝∠ADC．

12题图  

13．如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为(0，4)，M是圆上一点，∠BMO＝120°.求⊙C的半径．

13题图 

拓展探究

1.如图(1)，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、E.

(1)求证：△DOE是等边三角形.

(2)如图2，若∠A=60°，AB≠AC，则(1)中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.

1题图

2．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F.

(1)若∠E＝∠F，求证：∠ADC＝∠ABC；

(2)若∠E＝∠F＝42°，求∠A的度数；

(3)若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β.请你用含有α，β的代数式表示∠A的大小．

2题图    

24.1.4   圆周角（第2课时）

自主预习

1．让乙射门好，∵∠MBN＞∠MAN．

2．解：船只在航行的过程中，始终保持对两灯塔A、B的视角小于θ，即可安全过暗礁区．

如图所示，（1）在外任取一点C，连结CA，CB，设CA交弧APB于F，连结FB，

∵∠AFB=θ，∠AFB>∠C，∴∠C=θ．

2题图

（2）在的弓形内任取一点D，连结AD并延长交于E，连结DB、EB，

∵∠E=θ，∠ADB>∠E，∴∠ADB>θ，

由（1）（2）知，在航标灯A、B所在直线的北侧，在圆弧外任一 点，对A、B的视角都小于θ，

在圆弧上任一点，对A、B的视角都等于θ，在圆弧内任一点，对A、B的视角都大于θ，为此，只有当时两灯塔的视角小于θ的点才是完全的．

互动训练

1. C. 解析：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝108°，

∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣108°＝72°，

故选：C．

2. C. 解析：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠A＝180°﹣∠BCD＝60°，

由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，

故选：C．

3. B. 解析：∵BC＝CD，∴＝，

∴∠DAC＝∠CAB，

∵∠DAB＝50°，∴∠CAB＝×50°＝25°，

∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，

∴∠B＝90°﹣25°＝65°，故选：B．

4. B. 解析：如图，连接BC，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°，

∵∠B+∠ADC＝180°，

∴∠ADC＝180°﹣50°＝130°．

故选：B．

4题图 

5. a . 解析：连结AD， ∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，

又AB=AC，∴BD=DC=a.

6. 130°. 解析：∵圆心角∠AOB的度数为100°，∴劣弧AB的度数是100°，

∴优弧AB的度数是360°-100°=260°，则圆周角∠ACB等于130°.

7. 100°. 解析：∵∠B=130°，∴优弧ADB的度数是260°，∴劣弧ABC的度数是100°，

 ∴∠AOC的度数是100°.

8. 40°. 解析：∵∠ACD=15°，∴弧AD的度数是30°， 又，

        ∴弧BC的度数是110°,∴∠BAC=55°，∵∠ACD=15°，∴∠BEC=55°-15°=40°.

9. B.   10. C. 

11. B. 解析：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠DCE＝∠A＝n°，故选：B．

12. C. 解析：设∠A、∠C分别为x、2x，

∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴x+2x＝180°，

解得，x＝60°，即∠A＝60°，故选：C．

13. C. 解析：∵四边形ABCO是平行四边形，

∴∠AOC＝∠B，

∵∠B+∠D＝180°，∠AOC＝2∠D，

∴2∠D+∠D＝180°，

∴∠D＝60°．故选：C．

14. 解：根据圆内接四边形的对角互补可知，其对角和相等，

所以四个内角的度数的比为2∶1∶7∶8.

设这四个内角的度数分别为2x°、x°、7x°、8x°，

则2x＋x＋7x＋8x＝360.解得x＝20.

则2x＝40，7x＝140，8x＝160.

答：这个四边形各内角的度数分别为40°、20°、140°、160°.

15. ∠DPB=（∠BOD－∠AOC），∠DQB=（∠BOD+∠AOC）.

在△PAD中，∵∠DAB=∠DPB+∠PDA，∴∠DPB=∠DAB－∠PDA，

∴∠DPB=（∠BOD－∠AOC），

   同理：∠DQB=（∠BOD+∠AOC）.

课时达标

1.100. 解析：∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠A+∠C＝180°，

∴∠C═180°﹣∠A＝180°﹣80°＝100°，

故答案为：100．

2. 60.解析：由圆周角定理得，∠AOC＝2∠D，

∵∠AOC＝∠B，∴∠B＝2∠D，

∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠D+∠B＝180°，∴∠D+2∠D＝180°，

解得，∠D＝60°，故答案为：60．

3. 130. 解析：如图，取⊙O上的一点D，连接BD，CD，

∵∠BOC＝100°，∴∠D＝50°，∴∠BAC＝180°－50°＝130°，故答案为：130．

   3题图

4. 32°. 解析：∵四边形ABCD是圆内接四边形，

∴∠BCF＝∠A＝62°，

∵∠CBF是△ABE的一个外角，

∴∠CBF＝∠A+∠E＝62°+24°＝86°，

∴∠F＝180°﹣∠BCF﹣∠CBF＝180°﹣62°﹣86°＝32°，

故答案为32°．

5. 100°．解析：设∠A为4x，则∠C为5x，

∵四边形ABCD是圆内接四边形，

∴∠A+∠C＝180°，即4x+5x＝180°，

解得，x＝20°，∴∠C＝5x＝100°，

故答案为：100°．

6．A  7．B  8．A  9．C

10．证明：∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE＝90°-∠E，

∵AF⊥BC于D，∴∠FAC＝90°-∠ACB，

∵∠ACB=∠E，∴∠BAE=∠FAC,  ∴BE=CF. 

11. 解：△ABC是等边三角形，

理由：∵＝，∴AC＝BC，

∵∠ADC＝60°，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，

∴△ABC是等边三角形．

12. 证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，

∴∠FGD＝∠ACD．

又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，

∴AB垂直平分CD，

∴AC＝AD，

∴∠ADC＝∠ACD，

∴∠FGD＝∠ADC．

13. 解：∵四边形ABMO内接于⊙C，

∴∠BAO＋∠BMO＝180°.

∵∠BMO＝120°，∴∠BAO＝60°.

在Rt△ABO中，AO＝4，∠BAO＝60°，

∴AB＝8.

∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙C的直径．

∴⊙C的半径为4.

拓展探究

1.（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°.

∵OB=OC=OE=OD，∴△OBD和△OEC都为等边三角形.

∴∠BOD=∠EOC=60°.∴∠DOE=60°.

∴△DOE为等边三角形.

（2）解:当∠A=60°，AB≠AC时，（1）中的结论仍然成立.

证明：连结CD. ∵BC为⊙O的直径，

∴∠BDC=90°.  ∴∠ADC=90°.

∵∠A=60°，∴∠ACD=30°.

∴∠DOE=2∠ACD=60°.

∵OD=OE，∴△DOE为等边三角形.

2. 解：(1)证明：∵∠DCE＝∠BCF，∠E＝∠F，

又∵∠ADC＝∠E＋∠DCE，∠ABC＝∠F＋∠BCF，

∴∠ADC＝∠ABC.

(2)由(1)知∠ADC＝∠ABC，

∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠ADC＋∠ABC＝180°.

∴∠ADC＝90°.

在Rt△ADF中，∠A＝90°－∠F＝90°－42°＝48°.

(3)连接EF.

∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，

∴∠ECD＝∠A.

∵∠ECD＝∠CEF＋∠CFE，

∴∠A＝∠CEF＋∠CFE.

∵∠A＋∠CEF＋∠CFE＋∠DEC＋∠BFC＝180°，

∴2∠A＋α＋β＝180°.

∴∠A＝90°－.

      2题图