人教版九年级上册24.1.3 弧、弦、圆心角优秀课时训练

这是一份人教版九年级上册24.1.3 弧、弦、圆心角优秀课时训练，共6页。




1．若eq \(AB,\s\up8(︵))，eq \(CD,\s\up8(︵))是同一圆上的两段弧，且eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \(CD,\s\up8(︵))，则弦AB与弦CD之间的关系是( C )


A．AB＜CD B．AB＞CD


C．AB＝CD D．不能确定


【解析】 同圆或等圆中等弧所对的弦相等．


2．如图24－1－27所示，AB是⊙O的直径，C，D是eq \(BE,\s\up8(︵))上的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE为( C )


A．40° B．60° C．80° D．120°


【解析】 易知∠EOB＝180°－60°＝120°.∵C，D是eq \(BE,\s\up8(︵))的三等分点，∴eq \(BC,\s\up8(︵))＝eq \(CD,\s\up8(︵))＝eq \(DE,\s\up8(︵))，∴∠BOC＝∠COD＝∠DOE，∴∠COE＝eq \f(2,3)∠EOB，∴∠COE＝eq \f(2,3)×120°＝80°.故选C.





图24－1－27





图24－1－28





图24－1－29





3．如图24－1－28，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D，延长OD交⊙O于E，则下列说法错误的是( D )


A．AD＝BD B．∠AOE＝∠BOE


C.eq \(AE,\s\up8(︵))＝eq \(BE,\s\up8(︵)) D．OD＝DE


【解析】 由垂径定理得A，C正确．又由eq \(AE,\s\up8(︵))＝eq \(BE,\s\up8(︵))得∠AOE＝∠BOE，故B正确，故选D.


4．如图24－1－29，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BOC＝110°，AD∥OC，则∠AOD＝( D )


A．70° B．60°


C．50° D．40°


【解析】 ∠AOC＝180°－∠BOC＝180°－110°＝70°.∵AD∥OC，∴∠A＝∠AOC＝70°.∵OA＝OD，


∴∠A＝∠D＝70°.∴∠AOD＝180°－∠A－∠D＝180°－70°×2＝40°.故选D.


5．已知eq \(AB,\s\up8(︵))，eq \(CD,\s\up8(︵))是同圆的两段弧，且eq \(AB,\s\up8(︵))＝2eq \(CD,\s\up8(︵))，则弦AB与2CD之间的关系为( B )


A．AB＝2CD B．AB＜2CD


C．AB＞2CD D．不能确定


【解析】 如图，在圆上截取eq \(DE,\s\up8(︵))＝eq \(CD,\s\up8(︵))，则有eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \(CE,\s\up8(︵))，∴AB＝CE.∵CD＋DE＝2CD＞CE＝AB，∴AB＜2CD.





6．如图24－1－30，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD＝( B )


A．105° B．120°


C．135° D．150°





图24－1－30





图24－1－31


7．如图24－1－31所示，AB是⊙O的直径，如果∠COA＝∠DOB＝60°，那么与线段OA相等的线段有__OC，OD，OB，AC，CD，DB__；与eq \(AC,\s\up8(︵))相等的弧有__eq \(CD,\s\up8(︵))和eq \(DB,\s\up8(︵))__．


8．如图24－1－32，在⊙O中，eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \(AC,\s\up8(︵))，∠A＝42°，则∠B＝__69°__．


【解析】 ∵eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \(AC,\s\up8(︵))，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C＝eq \f(1,2)(180°－∠A)＝eq \f(1,2)×(180°－42°)＝69°.





图24－1－32





图24－1－33


9．如图24－1－33，AB为半圆O的直径，OC⊥AB，OD平分∠BOC，交半圆于点D，AD交OC于点E，则∠AEO的度数是__67.5°__．


【解析】 因为OD平分∠BOC，所以∠BOD＝eq \f(1,2)∠BOC＝eq \f(1,2)×90°＝45°.因为OA＝OD，所以∠A＝∠D.又因为∠BOD＝∠A＋∠D＝2∠A，所以∠A＝eq \f(1,2)∠BOD＝eq \f(1,2)×45°＝22.5°，所以∠AEO＝90°－22.5°＝67.5°.


10．如图24－1－34所示，D，E分别是⊙O的半径OA，OB上的点，CD⊥OA，CE⊥OB，CD＝CE，则AC与CB的大小关系是__AC＝CB__．





图24－1－34





图24－1－35


11．如图24－1－35，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝35°，以C为圆心、CA为半径的圆交AB于D点，则弧AD为__70__度．


【解析】 连接CD，∵∠ACB＝90°，∠B＝35°，


∴∠A＝90°－∠B＝55°.∵CA＝CD，


∴∠A＝∠CDA＝55°，∴∠ACD＝180°－2∠A＝70°.


12．如图24－1－36，AB，BC，AC都是⊙O的弦，且∠AOB＝∠BOC.求证：(1)∠BAC＝∠BCA；


(2)∠ABO＝∠CBO.





图24－1－36


【解析】 (1)在⊙O中，有圆心角∠AOB＝∠BOC，则可知该圆心角所对的弦相等，即AB＝BC，在△ABC中，AB＝BC，则∠BAC＝∠BCA.(2)图中共有4个等腰三角形，根据它们的底角分别相等，可以得出结论．


证明：(1)∵∠AOB＝∠BOC，


∴AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA.


(2)∵OB＝OA，∴∠ABO＝∠BAO，


同理得∠CBO＝∠BCO，∠CAO＝∠ACO.


又∵∠BAC＝∠BCA，∴∠BAO＝∠BCO，


∴∠ABO＝∠CBO.





13．如图24－1－37所示，已知AB为⊙O的直径，M，N分别为OA，OB的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M，N.求证：eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵)).





图24－1－37





第13题答图


【解析】 证两弧相等，可根据其定义和圆心角、弦、弧三者之间的关系定理与推论来证明．


证明：如图所示，连接OC，OD，则OC＝OD.


又OM＝eq \f(1,2)OA，ON＝eq \f(1,2)OB，OA＝OB，


∴OM＝ON，∴Rt△CMO≌Rt△DNO，


∴∠COA＝∠DOB，∴eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵)).


14．如图24－1－38所示，A，B，C为⊙O上的三点，且有eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \(BC,\s\up8(︵))＝eq \(CA,\s\up8(︵))，连接AB，BC，CA.


(1)试确定△ABC的形状；


(2)若AB＝a，求⊙O的半径．





图24－1－38





第14题答图


解： (1)∵eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \(BC,\s\up8(︵))＝eq \(CA,\s\up8(︵))(已知)，


∴AB＝BC＝CA(在同圆中相等的弧所对的弦相等)，∴△ABC为等边三角形．


(2)如图，连接OA，OB，OC，过O作OE⊥BC，垂足为E.∵eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \(BC,\s\up8(︵))＝eq \(CA,\s\up8(︵))(已知)，


∴∠AOB＝∠BOC＝∠COA(在同圆中相等的弧所对的圆心角相等)．


又∵∠AOB＋∠BOC＋∠COA＝360°(周角的定义)，


∴∠BOC＝120°.又∵OB＝OC，OE⊥BC，


∴∠BOE＝∠COE＝60°，BE＝EC＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)a(等腰三角形三线合一)．


∴∠OBE＝90°－∠BOE＝30°.∴OE＝eq \f(1,2)OB.


根据勾股定理得BE2＋OE2＝OB2，


∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)OB))eq \s\up12(2)＝OB2，


解得OB＝eq \f(\r(3),3)a(负值已舍)，即⊙O的半径为eq \f(\r(3),3)a.


15．如图24－1－39，A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点．连接AB，AD，AF，求证：AB＋AF＝AD.


【解析】 连接OB，OF，得到等边△AOB，△AOF，据此并结合圆的性质，即可推理出AB＝AF＝AO＝OD，从而得到AB＋AF＝AD.





图24－1－39


解：连接OB，OF.∵A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点，∴AD是⊙O的直径，且∠AOB＝∠AOF＝60°，又∵OA＝OB，OA＝OF，∴△AOB，△AOF是等边三角形，∴AB＝AF＝AO＝OD，∴AB＋AF＝AO＋OD＝AD.





16．已知如图24－1－40，A点是半圆上一个三等分点，B点是eq \(AN,\s\up8(︵))的中点，P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值为多少？





图24－1－40





第16题答图


【解析】 利用圆的对称性，找到AP＋BP取最小值时的P点，再结合弧与圆心角的关系得到直角三角形，运用勾股定理求解．


解：作A关于MN的对称点A′，根据圆的对称性，则A′必在圆上，


连接BA′交MN于P，连接PA，则PA＋PB最小，此时PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B，连接OA，OA′，OB.


∵eq \(AN,\s\up8(︵))＝eq \f(1,3)eq \(MN,\s\up8(︵))，∴∠AON＝∠A′ON＝60°.


∵eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \(BN,\s\up8(︵))，∴∠BON＝eq \f(1,2)∠AON＝30°，


∴∠A′OB＝90°，


∴A′B＝eq \r(OA′2＋OB2)＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，


即AP＋BP的最小值是eq \r(2).