人教版新课标A必修41.5 函数y=Asin（ωx+ψ）测试题

第2课时　函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用

课时过关·能力提升

基础巩固

1.函数y=Asin(ωx+φ)+k的图象如图,则它的振幅A与最小正周期T分别是(　　)

A.A=3,T= B.A=3,T=

C.A=,T= D.A=,T=

解析:由题图可知A=×(3-0)=.

设周期为T,则T=,得T=.

答案:D

2.函数f(x)=sin的图象的一条对称轴是(　　)

A.x= B.x= C.x=- D.x=-

解析:函数f(x)=sin的图象的对称轴是x-=kπ+,k∈Z,即x=kπ+,k∈Z.

当k=-1时,x=-π+=-.故选C.

答案:C

3.设点P是函数f(x)=sin ωx的图象C的一个对称中心,若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是,则f(x)的最小正周期是(　　)

A.2π B.π C. D.

解析:函数y=sin ωx的图象中,对称中心到对称轴的最小值是,其中T为函数y=sin ωx的最小正周期,则,解得T=π.

答案:B

4.若函数g(x)的图象是由f(x)=sin的图象向左平移个单位长度得到的,则g(x)图象的一条对称轴方程是(　　)

A.x=- B.x= C.x=- D.x=

解析:由题意,得g(x)=sin.

令2x++kπ(k∈Z),解得x=-(k∈Z).

当k=0时,x=-,即为一条对称轴方程.

答案:A

5.已知ω>0,0<φ<π,直线x=和x=是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ=(　　)

A. B. C. D.

解析:周期T=2=2π,∴ω==1.

∴f(x)=sin(x+φ).

由题意知f=±1,∴sin=±1.

又0<φ<π,∴<φ+,

∴φ+,∴φ=.

答案:A

6.函数y=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图,则此函数的解析式为(　　)

A.y=-4sin B.y=-4sin

C.y=4sin D.y=4sin

解析:观察图象知函数的最大值是4,则A=4,函数的周期T=2×[6-(-2)]=16,则16=,解得ω=,

则y=4sin.

又点(-2,0)在函数y=Asin(ωx+φ)的图象上,

则0=4sin,所以sin=0.

又|φ|<,所以φ=.

所以y=4sin.

答案:D

7.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,其中图象的最高点和最低点的横坐标分别为,图象在y轴上的截距为,给出下列四个结论:

①f(x)的最小正周期为π;②f(x)的最大值为2;

③f=1;④f为奇函数.

其中正确结论的个数是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

解析:由f(x)的图象,得函数f(x)的最小正周期为T=,解得T=π,则ω=2,即f(x)=Asin(2x+φ).

又由f=A,即f=Asin=Asin=A,所以sin=1,解得φ=,

即f(x)=Asin.

又由f(0)=,即Asin ,所以A=2,即f(x)=2sin,则函数f(x)的最大值为2,所以①②是正确的;又由f=2sin=2cos =1,所以③是正确的;

又由f=2sin=2sin 2x为奇函数,所以④是正确的.

所以正确结论的个数为4,故选D.

答案:D

8.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是　　　　　. 

解析:根据函数f(x)的图象得,函数f(x)的最大值为2,则A=2.

∵函数f(x)的周期T=,

∴T=π.

利用周期的公式可得ω=2.

将点代入,得2=2sin,

结合|φ|<,可得φ=-,

∴f(x)的解析式是f(x)=2sin.

答案:f(x)=2sin

9.若f(x)=2sin(ωx+φ)+m对任意实数t都有f=f,且f=-3,则实数m的值等于　　　　　. 

答案:-5或-1

10.关于函数f(x)=2sin,以下说法:①最小正周期为;②图象关于点对称;③直线x=-是其图象的一条对称轴.

其中正确命题的序号是　　　　　. 

答案:①②③

11.已知挂在弹簧下的小球上下振动,它在时间t(单位:s)内离开平衡位置(就是静止时的位置)的距离h(单位:cm)由函数解析式h=3sin决定.

(1)以t为横坐标,h为纵坐标作出这个函数的图象(其中0≤t≤π);

(2)经过多少时间,小球往复振动一次?

(3)每秒小球能往复振动多少次?

解:(1)利用五点法可以作出其图象(如图).

(2)小球经过π s往复振动一次.

(3)每秒小球能往复振动次.

能力提升

1.若函数f(x)=2sin是偶函数,则φ的值可以是(　　)

A. B. C. D.-

解析:因为f(x)是偶函数,

所以f(x)的图象关于y轴即直线x=0对称,

所以f(0)=±2.

又当φ=时,f(0)=2sin=2,

所以φ的值可以是.

答案:A

2.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示,为了得到函数y=cos的图象,只需将y=f(x)的图象(　　)

A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度

解析:由题意,得T=2×=π,ω==2.

当x=时,ωx+φ=+φ=2kπ+π(k∈Z),

解得φ=2kπ+(k∈Z).

令k=0,得φ=.

故函数f(x)的解析式为f(x)=sin.

因为y=cos=cos=sin,

所以为了得到函数y=cos的图象,只需将y=f(x)的图象向左平移个单位长度.

答案:C

3.已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,若f(x)≤对x∈R恒成立,且f>f(π),则f(x)的单调递增区间是(　　)

A.(k∈Z)

B.(k∈Z)

C.(k∈Z)

D.(k∈Z)

答案:C

4.★若函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意x都有f=f(-x),则f=(　　)

A.3或0 B.-3或3

C.0 D.-3或0

解析:因为函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意x都有f=f(-x),

所以函数f(x)的图象关于直线x=对称,

所以f是函数f(x)的最大值或最小值,

所以f=-3或3.

答案:B

5.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象如图,则函数解析式为y=　　　　　. 

解析:由题图知,A=5,由-π=,知T=3π,

∴ω=,则y=5sin.

由图象知最高点坐标为,将其代入y=5sin,得5sin=5,

∴+φ=2kπ+(k∈Z),解得φ=2kπ+(k∈Z).

∵|φ|<π,∴φ=,∴y=5sin.

答案:5sin

6.★已知函数f(x)=sin(ω>0),若f=f,且f(x)在区间内有最大值,无最小值,则ω=　　　　　. 

解析:因为f(x)在区间内有最大值,无最小值,所以周期T>,所以ω=<6.

又f=f,则直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴,所以f=1.

所以sin=1.

所以ω++2kπ(k∈Z),

所以ω=+6k(k∈Z).又ω>0,所以ω=.

答案:

7.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0),图象最低点的纵坐标是-,相邻的两个对称中心是.

求:(1)f(x)的解析式;

(2)f(x)的值域;

(3)f(x)图象的对称轴.

解:(1)A=,T=2=π.∴=π,ω=2.

∴f(x)=sin(2x+φ).

∵在f(x)的图象上,∴f=0,

∴sin=0,∴sin=0.

又-π<φ<0,∴φ=-.

∴f(x)=sin.

(2)值域是[-].

(3)令2x-+kπ(k∈Z),

则x=(k∈Z).

故f(x)图象的对称轴是直线x=(k∈Z).

8.★已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M对称,且在区间上是单调函数,求φ和ω的值.

解:∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x),

即函数f(x)的图象关于y轴对称,

∴f(x)在x=0时取得最值,即sin φ=1或sin φ=-1.

又0≤φ≤π,故φ=.

由f(x)的图象关于点M对称,

可知sin=0,解得ω=,k∈Z.

又f(x)在上是单调函数,

∴T≥π,即≥π.∴ω≤2,

又ω>0,∴当k=1时,ω=;当k=2时,ω=2.

故φ=,ω=2或ω=.