高中数学人教版新课标A必修53.3 二元一次不等式（组）与简单的线性第1课时巩固练习

3.3.2　简单的线性规划问题

第1课时　简单的线性规划问题

课时过关·能力提升

基础巩固

1若x,y满

A.0 B.3 C.4 D.5

解析:由不等式组可作出如图的可行域(阴影部分),将z=2x+y变形为y=-2x+z,这是斜率为-2,随z变化的一族平行直线,如图,

可知当y=-2x+z经过点P时,z取最大值.P点坐标为(1,2),故zmax=2×1+2=4.

答案:C

2设变量x,y满足约束条z=3x-4y的最大值和最小值分别为(　　)

A.3,-11 B.-3,-11 C.11,-3 D.11,3

解析:画出可行域,如图中阴影所示.

可知当直线z=3x-4y平移到过点A(5,3)时,目标函数z=3x-4y取得最大值3;当直线平移到过点B(3,5)时,目标函数z=3x-4y取得最小值-11.

答案:A

3已知x,y满足不等式

A.(0,1) B.(-1,-1) C.(1,0) D

解析:画出可行域如图所示的阴影部分.

由图可知,当直线z=x-y平移到过点(1,0)时,目标函数z=x-y取得最大值.

答案:C

4设x,y满z=x+y(　　)

A.有最小值2,最大值3 B.有最小值2,无最大值

C.有最大值3,无最小值 D.既无最大值,也无最小值

解析:画出可行域,如图中的阴影部分所示.

作直线l0:x+y=0,平移l0,当l0过点A(2,0)时,z有最小值2,无最大值.

答案:B

5已知x,y满足约束条z=ax+y的最大值为4,则a=(　　)

A.3 B.2 C.-2 D.-3

解析:由约束条件画出可行域,如图阴影部分所示.

线性目标函数z=ax+y,即y=-ax+z.

设直线l0:ax+y=0.

当-a≥1,即a≤-1时,l0过O(0,0)时,z取得最大值,zmax=0+0=0,不合题意;

当0≤-a<1,即-1<a≤0时,l0过B(1,1)时,z取得最大值,zmax=a+1=4,∴a=3(舍去);

当-1<-a<0时,即0<a<1时,l0过B(1,1)时,z取得最大值,zmax=2a+1=4,∴a);

当-a≤-1,即a≥1时,l0过A(2,0)时,z取得最大值,zmax=2a+0=4,∴a=2.

综上,a=2符合题意.

答案:B

6z=x+2y的最大值是　　　　　. 

解析:画出可行域,如图中阴影所示.

可知当直线z=x+2y平移到过点(1,1)时,目标函数z=x+2y取得最大值1+2×1=3.

答案:3

7设D是不等式D中的点P(x,y)到直线x+y=10距离的最大值是　　　　　. 

解析:画出可行域如图中阴影部分所示,从而确定点(1,1)到直线x+y=10的距离.

答案:

8若实数x,y满z=3x+2y的最小值.

解不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示.

令t=x+2y,则当直线y=O(0,0),即t有最小值为0,则z=3x+2y有最小值为30=1.

9已知-4≤a-b≤-1,-1≤4a-b≤5,求9a-b的取值范围.

解令a=x,b=y,z=9a-b,即已知-4≤x-y≤-1,-1≤4x-y≤5,求z=9x-y的取值范围,画出不等式组表示的可行域(阴影部分)如图所示.

由z=9x-y,得y=9x-z,当直线过点A时z取最大值,当直线过点B时z取最小值.

A(3,7).

B(0,1).

即zmax=9×3-7=20,zmin=-1.

所以9a-b的取值范围是[-1,20].

能力提升

1设变量x,y满足约束条z=2x+5y的最小值为(　　)

A.-4 B.6 C.10 D.17

解析:如图,作出变量x,y满足约束条件表示的可行域,为三角形ABC及其内部,点A,B,C的坐标依次为(0,2),(3,0),(1,3).由图可知,将z=2x+5y变形为y=y=B时,z取最小值6.故选B.

答案:B

2已知x,y满足约束条

A.[-2,-1] B.[-2,1] C.[-1,2] D.[1,2]

解析:画出可行域,如图中的阴影部分所示.

由图知,-z是直线y=x-z在y轴上的截距,当直线y=x-z经过点A(2,0)时,-z取最小值,此时x=2,y=0,则z的最大值是x-y=2-0=2;当直线y=x-z经过点B(0,1)时,-z取最大值,此时x=0,y=1,则z的最小值是x-y=0-1=-1,所以z=x-y的取值范围为-1≤z≤2.

答案:C

3已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式.若M(x,y)为D上的动点,点A的坐标为1),则z

A.3 B.4 C.

解析:z,如图阴影部分所示.

z为直线y=,显然当直线y=B2)时,z取得最大值,

所以z最大=2+2=4.

答案:B

4设m>1,在约束条

A.(1,1

C.(1,3) 

D.(3,+∞)

解析:可行域如图阴影部分所示,由z=x+my得,y=

∵m>1,∴∈(-1,0).

∴当直线y=B时,z取最大值.

∴zmax

∴1<m<1

答案:A

5已知x,y满k为常数),若z=x+3y的最大值为8,则k=　　　　　. 

解析:画出可行域,如图中的阴影部分所示.

由图y=y轴上的截距,当直线y=,此时x=z的最大值是x+3y=k=-6.

答案:-6

6设x,y满足约束条z=2x+3y的最大值、最小值.

解作出可行域和直线2x+3y=0,如图中的阴影部分.

由z=2x+3y,得y=,若直线在y轴上的截距最大,则z最大;截距最小,则z最小.

因此当直线y=B时,z取得最小值,经过点D时,z取得最大值.

B(-3,-4),

D(3,8).

故zmin=2×(-3)+3×(-4)=-18;

zmax=2×3+3×8=30.

★7求z=600x+300y的最大值,式中的x,y满足约束条

解如图,可行域为四边形AOBC内(含边界)的区域.

由题意,可求得A(0,126),B(100,0).

由方程

则C点坐标

因题设要求整点(x,y),使z=600x+300y取得最大值,而整点(69,91),(70,90)都在可行域内,

将这两点坐标代入z=600x+300y,

可知,z取得最大值,且zmax=600×70+300×90=69 000.