高中数学人教版新课标A必修5第三章 不等式3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性第2课时巩固练习

这是一份高中数学人教版新课标A必修5第三章 不等式3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性第2课时巩固练习，共10页。试卷主要包含了这时平面区域为三角形ABC等内容，欢迎下载使用。

基础巩固
1不等式组x-y≥-1,x+y≥1,3x-y≤3表示的平面区域的面积是( ).
A.3
B.52
C.2
D.22
答案:C
2点(a,1)在直线x-2y+4=0的右下方,则a的取值范围是( ).
A.(-2,+∞)B.(-∞,-2)
C.(1,+∞)D.(-∞,1)
解析:如图,原点(0,0)在直线x-2y+4=0的右下方,
则点(a,1)与原点在直线x-2y+4=0的同侧.
把原点(0,0)代入x-2y+4,得4>0.
于是把点(a,1)代入x-2y+4>0,
即a-2+4>0,得a>-2.
答案:A
3如果点P在平面区域2x-y+2≥0,x-2y+1≤0,x+y-2≤0上,点Q在曲线x2+(y+2)2=1上,那么|PQ|的最小值为( )
A.5-1B.45-1
C.22-1D.2-1
答案:A
4在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组2x-y-2≥0,x+2y-1≥0,3x+y-8≤0所表示的区域内一动点,则直线OM斜率的最小值为( )
A.2
B.1
C.-13
D.-12
解析:不等式组表示的区域如图阴影部分所示,结合斜率变化规律,当M位于点C时OM斜率最小,且为-13,故选C.
答案:C
5若x,y满足条件x≥1,y≥1,x+y-3≤0,则2yx的取值范围是____________________.
解析:不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.
2yx表示原点与阴影部分中点的连线的斜率的2倍.
又kOA=2,kOB=12,所以1≤2yx≤4.
答案:[1,4]
6已知实数x,y满足x-2y+4≥0,2x+y-2≥0,3x-y-3≤0,则x2+y2的取值范围是 .
解析:画出约束条件对应的可行域(如图中阴影部分所示),x2+y2表示原点到可行域中的点的距离的平方,由图知原点到直线2x+y-2=0的距离的平方为x2+y2的最小值,为252=45,原点到点(2,3)的距离的平方为x2+y2的最大值,为22+32=13.因此x2+y2的取值范围是45,13.
答案:45,13
7已知点P(x,4)到直线x-2y+2=0的距离为25,且点P在不等式3x+y-3>0所表示的平面区域内,则x= .
解析:由条件知25=|x-2×4+2|5,3x+1>0,
即x=16或x=-4,x>-13,∴x=16.
答案:16
8某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子,每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张甲、乙型号的桌子分别需要1 h和2 h,漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需要3 h和1 h.又木工、漆工每天工作分别不得超过8 h和9 h.请列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域.
解设家具厂每天生产甲、乙型号的桌子的张数分别为x和y,它们满足的数学关系式为x+2y≤8,3x+y≤9,x≥0,x∈N,y≥0,y∈N.
分别画出不等式组中各不等式表示的平面区域,然后取交集,如图中的阴影部分所示,生产条件是图中阴影部分的整数点.
9有粮食和石油两种货物,可用轮船和飞机两种方式运输,每天每艘轮船和每架飞机的运输量如下表:
现在要在一天之内运输2 000 t粮食和1 500 t石油,列出表示运输工具和运输数量的数学关系式,并画出相应的平面区域.
解设需要x艘轮船,y架飞机,代数关系式和几何描述(如图阴影部分中的整数点)分别为300x+150y≥2 000,250x+100y≥1 500,x≥0,x∈N,y≥0,y∈N.
能力提升
1不等式组x≥0,x+3y≥4,3x+y≤4所表示的平面区域的面积等于( ).
解析:画出不等式组表示的平面区域,如图中的阴影部分所示.
∵直线x+3y=4和3x+y=4的交点为(1,1),
∴S=12×4-43×1=43.
答案:C
2若不等式组x+y-2≤0,x+2y-2≥0,x-y+2m≥0表示的平面区域为三角形,且其面积等于43,则m的值为( ).
A.-3
B.1
C.43
D.3
解析:如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则不等式x-y+2m≥0表示的平面区域为直线x-y+2m=0下方的区域,且-2m<2,即m>-1.这时平面区域为三角形ABC.
由x+y-2=0,x+2y-2=0,解得x=2,y=0,则A(2,0).
由x+y-2=0,x-y+2m=0,解得x=1-m,y=1+m,
则B(1-m,1+m).
同理C2-4m3,2+2m3,M(-2m,0).
因为S△ABC=S△ABM-S△ACM=12·(2+2m)·(1+m)-2+2m3=(m+1)23,由已知得(m+1)23=43,
解得m=1(m=-3<-1舍去).
答案:B
3设OM=1,12,ON=(0,1),则满足条件0≤OP·OM≤1,0≤OP·ON≤1的动点P的变动范围(下图中阴影部分,含边界)是( )
解析:设P点坐标为(x,y),则OP=(x,y).
由0≤OP·OM≤1,0≤OP·ON≤1,可得0≤(x,y)·1,12≤1,0≤(x,y)·(0,1)≤1,
即0≤x+12y≤1,0≤y≤1,其表示的区域为选项A中的阴影部分.
答案:A
★4若不等式组x≥0,x+3y≥4,3x+y≤4所表示的平面区域被直线y=kx+43分为相等的两部分,则k的值为( ).
解析:不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC,
由x+3y=4,3x+y=4得A(1,1).
又B(0,4),C0,43,则直线y=kx+43过点C.
要使直线y=kx+43平分△ABC,则直线y=kx+43过AB的中点.
又线段AB的中点为12,52,
故52=k2+43,解得k=73.
答案:C
5若实数x,y满足条件x+y≤3,y≤x-1,y≥0,则yx的最大值为___________________.
解析:画出平面区域,如图中的阴影部分所示.
设点P(x,y)为平面区域内一点,则yx=y-0x-0=kOP.
由x+y=3,y=x-1,得交点A(2,1).
由图,得0≤kOP≤kOA=12.
答案:12
6在平面直角坐标系中,不等式组y≥x-1,y≤-3|x|+1所表示的平面区域的面积为___________________.
解析:原不等式组化为y≥x-1,y≤-3x+1,x≥0
或y≥x-1,y≤3x+1,x<0,画出其表示的平面区域如图阴影部分所示,
由条件得A(-1,-2),B12,-12,C(0,1),故所求平面区域的面积S=12×2×1+12×2×12=32.
答案:32
7当投资生产A产品时,每生产100吨需要资金200万元,需场地200平方米;当投资生产B产品时,每生产100米需要资金300万元,需场地100平方米.现某单位可使用资金1 400万元,场地900平方米,列出满足题意的数学关系式,并在直角坐标系中画出相应的平面区域.
解先将已知数据列成表,如下表所示:
然后根据此表设未知数,列出限制条件,最后作图即可.设生产A产品x百吨,生产B产品y百米,
则2x+3y≤14,2x+y≤9,x≥0,y≥0,
用图形表示以上限制条件,得其表示的平面区域(阴影部分)如图所示.
★8已知α,β是方程x2+ax+2b=0的两根,且α∈[0,1],β∈[1,2],a,b∈R,求b-3a-1的最大值和最小值.
解∵α+β=-a,α·β=2b,∴a=-(α+β),b=α·β2.
∵0≤α≤1,1≤β≤2,∴1≤α+β≤3,0≤αβ≤2.
∴-3≤a≤-1,0≤b≤1.建立平面直角坐标系aOb,
则上述不等式组表示的平面区域如图所示.
令k=b-3a-1,可以看成动点P(a,b)与定点A(1,3)的连线的斜率.
∵kAB=32,kAC=12,∴12≤b-3a-1≤32.
故b-3a-1的最大值是32,最小值是12.
货物
轮船运输量
飞机运输量
粮食/t
300
150
石油/t
250
100
产 品
资金/百万元
场地/百平方米
A产品/百吨
2
2
B产品/百米
3
1