高中3.3.1几何概型课后测评

3.3.1　几何概型

课时过关·能力提升

一、基础巩固

1.已知f(x)=x+1,x∈[-3,2],则满足f(x0)≤0,x0∈[-3,2]的x0取值的概率为(　　)

A. B. C. D.

解析:∵f(x0)≤0,∴x0+1≤0,∴x0≤-1.

∵x0∈[-3,2],∴f(x0)≤0时,x0的取值范围为-3≤x0≤-1.∴x0的取值概率为.

答案:B

2.一只蚂蚁在如图所示的地板砖(除颜色不同外,其余全部相同)上爬来爬去,它最后停留在黑色地板砖(阴影部分)上的概率是(　　)

A. B. C. D.

解析:从题图中可以得到地板砖总数为12,其中黑色地板砖有4个,由此可知最后停留在黑色地板砖上的概率是.

答案:A

3.如图,在矩形ABCD中,点E为边CD的中点.若在矩形ABCD内部随机取一个点Q,则点Q取自△ABE内部的概率等于(　　)

A. B. C. D.

解析:△ABE的面积是矩形ABCD面积的一半,由几何概型,点Q取自△ABE内部的概率为.

答案:C

4.如图,在半径为4的大圆中有三个小半圆O1,O2,O3,其半径分别为1,2,1,若在大圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是(　　)

A. B. C. D.

解析:S阴=·π·42-·π·22+π·12=7π.

S大圆=π·42=16π,∴在大圆内随机取一点,此点取自阴影部分的概率是P=.

答案:A

5.一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随意地飞行,若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个面的距离不大于10,则就有可能撞到玻璃上而不安全,若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10,则飞行是安全的.假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置的可能性相同,那么蜜蜂飞行是安全的概率是(　　)

A. B. C. D.

解析:蜜蜂的飞行区域是棱长为30的正方体内部, V=303=27 000,蜜蜂安全飞行的区域是棱长为30-10-10=10的正方体内部,V'=103=1 000,

所以蜜蜂飞行是安全的概率是.

答案:C

6.《广告法》对插播广告的时间有一定的规定,某人对某台的电视节目做了长期的统计后得出结论,他任意时间打开电视机看该台节目,看不到广告的概率为,那么该台每小时约有　　　　　分钟的广告. 

解析:60×=6(分钟).

答案:6

7.在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取点,则该点落在三棱锥A1-ABC内的概率是　　　.

解析:P=.

答案:

8.如图,圆盘中扇形阴影部分的圆心角为60°,向圆盘内投镖,如果某人每次都能随机投入圆盘中,那么他投中阴影部分的概率为　　　　　. 

解析:设圆盘的半径为r,投中阴影部分为事件A,阴影部分面积为S'=πr2=πr2,故P(A)=.

答案:

9.在平面直角坐标系xOy中,设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域,E是到原点的距离不大于1的点构成的区域,向D中随机投一点,则所投的点落在E中的概率是　　　　　. 

解析:设点P(x,y)是区域D内任意一点,则则区域D是直线x=±2与y=±2围成的正方形,如图,区域E是以原点为圆心,半径为1的圆面.设点P落在区域E中为事件A,

则P(A)=.

答案:

10.小明一家订阅的晚报会在下午5:30~6:30之间的任何一个时间随机地被送到,小明一家人在下午6:00~7:00之间的任何一个时间随机地开始晚餐.

(1)你认为晚报在晚餐开始之前被送到和晚餐开始之后被送到哪一种可能性更大?

(2)晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少?

解:建立如图所示的坐标系.

图中直线x=6,x=7,y=5.5,y=6.5围成一个正方形区域,该试验的所有结果与区域内的点(x,y)一一对应.由题意知,每次结果出现的可能性是相同的,是几何概型.

(1)作射线y=x(x>0).晚报在晚餐前送达即y<x,因此图中阴影部分g表示事件A:“晚报在晚餐前送到”.而空白部分G则表示事件B:“晚报在晚餐开始后送到”.由图知事件A发生的可能性大.

(2)易求正方形区域的面积为1,而g的面积为,由几何概型的概率公式可得P(A)=.

二、能力提升

1.在区间[1,9]上随机取一个数x,则事件“log2(x-3)>0”发生的概率为(　　)

A. B. C. D.

解析:由log2(x-3)>0,得x-3>1,

又x∈[1,9],所以x∈(4,9].

由几何概型的概率公式,得所求概率为P=.

答案:D

2.如图所示,已知正方形ABCD,以对角线AC为一边作正△ACE,现向四边形区域ABCE内投一点Q,则点Q落在阴影部分的概率为(　　)

A.2-

B.2-

C.

D.

解析:设正方形的边长为2,则AC=2.

∵△ACE为正三角形,

∴S△ACE=×(2)2sin 60°=2.

∴阴影部分面积为S=2×2×2=2-2,

∴向四边形区域ABCE内投一点Q,则点Q落在阴影部分的概率为P==2-.

答案:B

3.四边形ABCD为长方形,AB=2,BC=1,O为AB的中点,在长方形ABCD内随机取一点,取到的点到O的距离大于1的概率为(　　)

A. B.1-

C. D.1-

解析:如图,要使所取点到O的距离大于1,则该点应分布在阴影区域,P==1-.

答案:B

4.已知正三棱锥S-ABC,在正三棱锥内任取一点P,使得VP-ABC<VS-ABC的概率是(　　)

A. B. C. D.

解析:设三棱锥S-ABC的高为h,三棱锥P-ABC的高为h'.

∵VP-ABC<VS-ABC,∴h'<h.

取D,E,F分别为SA,SB,SC的中点,连接DE,EF,DF,则P落在三棱台DEF-ABC内,

∴VP-ABC<VS-ABC的概率为

=.

答案:B

5.在区间(0,1)中随机地取出两个数,则两数之和小于的概率是　　　　　. 

解析:设这两个数分别为x,y,则x+y<,由几何概型及图可知,所求概率为.

答案:

★6.在区间[-2,4]上随机地取一个数x,若x满足|x|≤m的概率为,则m=　　　　　. 

解析:由|x|≤m,得-m≤x≤m,

当m≤2时,由题意,m=2.5,矛盾,舍去;

当2<m<4时,由题意得,

解得m=3.

答案:3

7.甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一个人一刻钟,过时即可离去,求两人能会面的概率.

解:以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间,则两人能够会面当且仅当|x-y|≤15.

如图,在平面直角坐标系中,(x,y)的所有可能结果是边长为60的正方形,而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示,由几何概型的概率公式得P(A)=.

★8.设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.

(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上述方程有实数根的概率;

(2)若a是从区间[0,3]上任取的一个数,b是从区间[0,2]上任取的一个数,求上述方程有实数根的概率.

解:设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实数根”.

当a≥0,b≥0时,方程x2+2ax+b2=0有实数根当且仅当a≥b.

(1)基本事件共有12个:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2).

其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值.

事件A中包含9个基本事件,事件A发生的概率为P(A)=.

(2)如图,试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}.

构成事件A的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b},如图阴影部分所示.

所以所求的概率为P(A)=.