高中数学人教版新课标A必修5第三章不等式综合与测试课时练习

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这是一份高中数学人教版新课标A必修5第三章不等式综合与测试课时练习，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1若x>y,m>n,则下列不等式中成立的是( )
A.x-m>y-n
B.mx>ny
C.xn>ym
D.m-y>n-x
解析:∵x>y,∴-y>-x.又m>n,∴m-y>n-x.
答案:D
2若函数f(x)=x+2,x≤0,-x+2,x>0,则不等式f(x)≥x2的解集是( )
A.[-1,1]B.[-2,2]
C.[-2,1]D.[-1,2]
解析:不等式f(x)≥x2等价于x≤0,x+2≥x2或x>0,-x+2≥x2,
即x≤0,x2-x-2≤0或x>0,x2+x-2≤0,
解得x≤0,-1≤x≤2或x>0,-2≤x≤1.
所以-1≤x≤0或0答案:A
3下列选项中,使不等式x<1xA.(-∞,-1)B.(-1,0)
C.(0,1)D.(1,+∞)
解析:原不等式等价于x>0,x2<11>x3,②
①无解,解②得x<-1.故选A.
答案:A
4若x>-1,y>-1,且(x+1)(y+1)=4,则x+y的最小值为( )
A.4B.3
C.2D.1
解析:∵x>-1,y>-1,
∴x+1>0,y+1>0.
∴(x+1)+(y+1)≥2(x+1)(y+1)=4.
∴x+y≥2,当且仅当x=y=1时,取等号.
答案:C
5在R上定义运算:a bc d=ad-bc,若不等式x-1 a-2a+1 x≥1对任意实数x恒成立,则实数a的最大值为( )
A.-12
B.-32
C.12
D.32
解析:由定义知,不等式x-1 a-2a+1 x≥1等价于x2-x-(a2-a-2)≥1,∴x2-x+1≥a2-a对任意实数x恒成立.
∵x2-x+1=x-122+34≥34,
∴a2-a≤34,解得-12≤a≤32,则实数a的最大值为32.
答案:D
6已知x>0,y>0.若2yx+8xy>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.m≥4或m≤-2B.m≥2或m≤-4
C.-2解析:∵x>0,y>0,
∴2yx+8xy≥8当且仅当2yx=8xy时取“=”.
若2yx+8xy>m2+2m恒成立,
则m2+2m<8,解得-4答案:D
7已知a>0,x,y满足约束条件x≥1,x+y≤3,y≥a(x-3).若z=2x+y的最小值为1,则a等于( )
A.14
B.12
C.1
D.2
解析:由题意作出x≥1,x+y≤3,y≥a(x-3)所表示的区域如图中阴影部分所示,
作直线2x+y=1,因为直线2x+y=1与直线x=1的交点坐标为(1,-1),
结合题意知直线y=a(x-3)过点(1,-1),代入得a=12,所以a=12.
答案:B
8甲、乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程慢走,一半路程跑步,乙一半时间慢走,一半时间跑步,若两人慢走速度、跑步速度均相同,则( )
A.甲先到教室B.乙先到教室
C.两人同时到教室D.谁先到教室不确定
解析:设甲用时间T,乙用时间2t,慢走速度为a,跑步速度为b,距离为s,
则T=s2a+s2b=s2a+s2b=s×a+b2ab.ta+tb=s⇒2t=2sa+b,
∴T-2t=s(a+b)2ab-2sa+b=s×(a+b)2-4ab2ab(a+b)=s(a-b)22ab(a+b)>0.
故选B.
答案:B
9在平面直角坐标系中,已知平面区域A={(x,y)|x+y≤1,且x≥0,y≥0},则平面区域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面积为( )
A.2
B.1
C.12
D.14
解析:对于平面区域B,令m=x+y,n=x-y,则x=m+n2,y=m-n2.
因为(x,y)∈A,
所以m+n2+m-n2≤1,m+n2≥0,m-n2≥0,即m≤1,m+n≥0,m-n≥0,
因此平面区域B的面积即为不等式组m≤1,m+n≥0,m-n≥0所对应的平面区域(阴影部分)的面积,
画出图形可知,该平面区域的面积为2×12×1×1=1,故选B.
答案:B
10若正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当zxy取得最小值时,x+2y-z的最大值为( )
A.0B.98
C.2D.94
解析:由x2-3xy+4y2-z=0得x2+4y2-3xy=z,zxy=x2+4y2xy-3≥2x2·4y2xy-3=4xyxy-3=1,
当且仅当x2=4y2即x=2y时,zxy有最小值1.
将x=2y代入x2-3xy+4y2-z=0,得z=2y2,
所以x+2y-z=2y+2y-2y2=-2y2+4y,
当y=1时有最大值2.故选C.
答案:C
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11对任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是 .
解析:当a=2时,-4<0恒成立,∴a=2符合.
当a-2≠0时,则a应满足a-2<0,Δ=4(a-2)2+16(a-2)<0,
解得-2综上所述,-2答案:(-2,2]
12若x,y∈(0,+∞),且2x+8y-xy=0,则x+y的最小值是 .
解析:由2x+8y-xy=0,得y(x-8)=2x.
∵x>0,y>0,∴x-8>0,得到y=2xx-8,
则μ=x+y=x+2xx-8=x+(2x-16)+16x-8
=(x-8)+16x-8+10
≥2(x-8)·16x-8+10=18,
当且仅当x-8=16x-8,
即x=12,y=6时取“=”.
答案:18
13若变量x,y满足约束条件x+2y≤8,0≤x≤4,0≤y≤3,则x+y的最大值为 .
解析:画出可行域,令z=x+y,易知z在A(4,2)处取得最大值6.
答案:6
14要建造一个容积为8 m3,深为2 m的长方体无盖水池,若池底的造价为每平方米120元,池壁的造价为每平方米80元,则这个水池的最低造价为元.
解析:设水池的总造价为y元,池底长为x m,则宽为4x m.由题意可得y=4×120+22x+8x·80
=480+320·x+4x≥480+320×2x·4x
=480+320×24=1 760,
当x=4x,即x=2时,ymin=1 760.
故当池底长为2 m时,这个水池的造价最低,最低造价为1 760元.
答案:1 760
15设a+b=2,b>0,则当a= 时,12|a|+|a|b取得最小值.
解析:因为a+b=2,所以1=a+b2.12|a|+|a|b=a+b22|a|+|a|b=a4|a|+b4|a|+|a|b≥a4|a|+2b4|a|·|a|b=a4|a|+1,当a>0时,a4|a|+1=54,12|a|+|a|b≥54;
当a<0时,a4|a|+1=34,12|a|+|a|b≥34,
当且仅当b=2|a|时等号成立.
因为b>0,所以原式取最小值时b=-2a.
又a+b=2,所以当a=-2时,原式取得最小值.
答案:-2
三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16(8分)已知不等式ax2-3x+2<0的解集为A={x|1(1)求a,b的值;
(2)求函数f(x)=(2a+b)x-9(a-b)x(x∈A)的最小值.
解(1)由题意知,1+b=3a,1×b=2a,a>0,解得a=1,b=2.
(2)由(1)知a=1,b=2,∴A={x|1∴f(x)=4x+9x(1而x>0时,4x+9x≥24x·9x=2×6=12,
当且仅当4x=9x,即x=32时取等号.
而x=32∈A,∴f(x)的最小值为12.
17(8分)设f(x)=16xx2+8(x>0).
(1)求f(x)的最大值;
(2)证明对任意实数a,b,f(a)(1)解f(x)=16xx2+8=16x+8x≤162x·8x=22,
当且仅当x=8x,即x=22时,等号成立.
所以f(x)的最大值为22.
(2)证明b2-3b+214=b-322+3,
当b=32时,b2-3b+214有最小值3.
由(1)知,f(a)有最大值22.
所以对任意实数a,b,f(a)18(9分)某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形的休闲区A1B1C1D1和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).
(1)设休闲区的长和宽的比A1B1B1C1=x,求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式;
(2)要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计?
解(1)设休闲区的宽B1C1为a米,则其长A1B1为ax米,
∴a2x=4 000⇒a=2010x.
∴S=(a+8)(ax+20)
=a2x+(8x+20)a+160
=4 000+(8x+20)·2010x+160
=80102x+5x+4 160(x>1).
(2)S≥1 600+4 160=5 760,当且仅当2x=5x⇒x=2.5,即当x=2.5时,公园所占面积最小.
此时a=40,ax=100,即休闲区A1B1C1D1的长为100米,宽为40米.
19(10分)某厂生产一种产品,其成本为每千克27元,售价为每千克50元.生产中,每千克产品产生0.3 m3的污水,污水有两种排放方式:
方式一:直接排入河流.
方式二:经厂内污水处理站处理后排入河流,但受污水处理站技术水平的限制,污水处理率只有85%.污水处理站最大处理能力是0.9 m3/h,处理污水的成本是每立方米5元.
另外,如果环保部门对排入河流的污水收费标准是每立方米17.6元,且允许该厂排入河流中污水的最大量是0.225 m3/h,那么,该厂应选择怎样的生产与排污方案,可使其每小时净收益最大?
解根据题意,本问题可归纳为:
在约束条件0.3x-y≤0.9,9x+170y≤45,0.3x-y≥0,x≥0,y≥0下,求目标函数z=20.708x-9.96y的最大值.
作出可行域,如图中阴影部分所示,令z=0作直线l0:20.708x-9.96y=0,由图形可以看出,平移直线l0,在可行域中的顶点A处,z取得最大值.
解方程组0.3x-y=0.9,9x+170y=45,得A(3.3,0.09).
故该厂生产该产品3.3 kg/h,直接排入河流的污水为0.09 m3/h时,可使每小时净收益最大,最大值为20.708×3.3-9.96×0.09=67.44(元).
答:该厂应安排生产该产品3.3 kg/h,直接排入河流的污水为0.09 m3/h,可使其每小时净收益最大.
20(10分)已知关于x的不等式mx2-2x-m+1<0.
(1)是否存在m使对所有的实数x,不等式恒成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立,求x的取值范围.
解(1)不等式mx2-2x-m+1<0恒成立,
即函数f(x)=mx2-2x-m+1的图象全部在x轴下方.
当m=0时,f(x)=1-2x,不满足f(x)<0恒成立;
当m≠0时,f(x)=mx2-2x-m+1,要使f(x)<0恒成立,需m<0,Δ=4-4m(1-m)<0,则m无解.
综上可知,不存在这样的m.
(2)设f(m)=(x2-1)m+1-2x,则f(m)为一个以m为自变量的一次函数,其图象是直线.
由题意知当-2≤m≤2时,f(m)的图象为在m轴下方的线段,
∴f(-2)<0,f(2)<0,即-2x2-2x+3<0,2x2-2x-1<0,①②
解①得x<-1-72或x>-1+72,
解②得1-32由①②,得-1+72

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