高中数学人教A版 (2019)必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式课时练习

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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式课时练习，共9页。

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·浙江高二学业考试）已知实数，满足，则的最大值是（）
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，得 .
故选：D.
2．（2020·江门市第二中学高一期中）若实数满足，则的最小值是（）
A．18B．9C．6D．2
【答案】C
【解析】因为，，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为6，
故选：C
3．（2020·上海高三其他）下列不等式恒成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】A.由基本不等式可知，故A不正确；
B.，即恒成立，故B正确；
C.当时，不等式不成立，故C不正确；
D.当时，不等式不成立，故D不正确.
故选：B
4．（2020·全国高一）当时，函数的最小值为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意，由于，所以，当且仅当时，等号成立.
故选B.
5．（2020·浙江高一单元测试）已知不等式对任意实数、恒成立，则实数的最小值为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】.
若，则，从而无最小值，不合乎题意；
若，则，.
①当时，无最小值，不合乎题意；
②当时，，则不恒成立；
③当时，，
当且仅当时，等号成立.
所以，，解得，因此，实数的最小值为.
故选：C.
6．（2020·浙江鄞州宁波华茂外国语学校高三一模）已知实数，，，则的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵，，
∴，当且仅当，即，时取等号.故选B
7．（多选）小王从甲地到乙地往返的速度分別为和，其全程的平均速度为，则（）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】设甲、乙两地之间的距离为，则全程所需的时间为，.
，由基本不等式可得，，
另一方面，，
，则.
故选：AD.
8．（多选）（2020·福建省泰宁第一中学）下列各不等式，其中不正确的是（）
A．；B．；
C．；D．.
【答案】ACD
【解析】对A项，当时，，则A错误；
对B项，当时，，当且仅当时，等号成立
当时，，当且仅当时，等号成立，则B正确；
对C项，当时，，则C错误；
对D项，当时，，则D错误；
故选：ACD
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2020·黑龙江工农�鹤岗一中高一期末（理））若，则不等式（1）；（2）；（3）；（4）中，正确的不等式有__________个．
【答案】
【解析】，则，，.
，（1）中的不等式正确；
，则，（3）中的不等式错误；
，（2）中的不等式错误；
，则，由基本不等式可得，（4）中的不等式正确.
故答案为：.
10．（2020·江苏滨湖�辅仁高中高二期中）已知正实数满足，则的最大值是______.
【答案】
【解析】正实数，则，则，
，则，
当时等号成立.故答案为：.
11．（2020·黑龙江建华齐齐哈尔市实验中学高一期中）设且恒成立，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为a＞b＞c，所以a-b＞0，b-c＞0，a-c＞0.
又,
当且仅当，即2b=a+c时等号成立.所以m≤4.
12．（2018·浙江高三月考）已知，，则的最大值为________，的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为，，所以．因为，所以，解得，当且仅当时取等号．又，所以，，解得，所以的取值范围是．
故答案为：；．
三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
13．（2017·甘肃省会宁县第二中学高二期中）（1）已知0（2）已知x>0，y>0，且x＋y＝1，求＋的最小值.
【解析】（1）因为
已知，所以，
所以
所以，当且仅当，即取等号，
所以y＝2x－5x2的最大值为：
（2）因为＋，
当且仅当 x＋y＝1，，即时，取等号，
所以＋的最小值.为.
14．（2017·福建高三（理））已知a，b为正实数，且.
（1）求a2＋b2的最小值；
（2）若，求ab的值．
【解析】(1)因为a，b为正实数，且，
所以，即ab≥(当且仅当a＝b时等号成立)．
因为(当且仅当a＝b时等号成立)，
所以a2＋b2的最小值为1.
(2)因为，所以，
因为，所以，即，
所以(ab)2－2ab＋1≤0，(ab－1)2≤0，
因为a，b为正实数，所以ab＝1.
15．（2020·上海高三专题练习）已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z=1，求证：（1）（1）（1）＞8．
【解析】∵x+y+z＝1，x、y、z是互不相等的正实数，
∴（1）（1）（1）8．
∴（1）（1）（1）＞8
16．（2020·江西南康中学高一月考）南康某服装厂拟在年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足.已知年生产该产品的固定投入为万元，每生产万件该产品需要再投入万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.
（1）将年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；
（2）该服装厂年的促销费用投入多少万元时，利润最大？
【解析】（1）由题意知：每件产品的销售价格为，
；
（2）由，
当且仅当，即时取等号.
答：该服装厂年的促销费用投入万元时，利润最大.

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