高考数学一轮复习策略

1、揣摩例题。

课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。

2、精练习题

复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。

3、加强审题的规范性

每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。

4、重视错题

“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。

专题2.2   基本不等式及其应用

【知识清单】

1．重要不等式

当a、b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立．

2．基本不等式

当a>0，b>0时有，当且仅当a=b时，等号成立．

3．基本不等式与最值

已知x、y都是正数．

(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值．

(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值．

4.常用推论

（1）（）

（2）（，）；

（3）

【考点分类剖析】

考点一 ：利用基本不等式证明不等式

例1.（2021·山西高三二模（文））证明：；

【答案】证明见解析.

【解析】

由不等式，令，则有，即可证得.

例2.已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：.

【答案】见解析

【解析】∵，，，

∴.同理，.∴

＝，当且仅当，即时取“＝”．

∴，当且仅当时等号成立．

【方法技巧】

利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．

【变式探究】

1.求证:

【答案】见解析

【解析】证明:由基本不等式和得

=

当且仅当即时取等号.

2.已知、、都是正数，求证：

【答案】见解析

【解析】∵、、都是正数

∴ （当且仅当时，取等号）

（当且仅当时，取等号）

（当且仅当时，取等号）

∴（当且仅当时，取等号）

即.

考点二：利用基本不等式求最值

例3.【多选题】（2021·辽宁葫芦岛市·高三一模）设正实数a，b满足，则（    ）

A．有最小值4 B．有最大值

C．有最大值 D．有最小值

【答案】ACD

【解析】

根据基本不等式结合不等式的性质判断．

【详解】

因为且，

所以，当且仅当时等号成立，即的最大值为，

，A正确；

，B错误；

，C正确；

，D正确．

故选：ACD．

例4.（2021·浙江高三月考）若正实数，满足，则的最小值是______．

【答案】

【解析】

由已知不等式可解得，换元，设，则所求式变形为，利用函数的单调性可得的最小值，从而得结论．

【详解】

因为正实数，满足，所以，解得或，而均为正数，所以，设，

则，

时，由不等式，当且仅当时等号成立知在上单调递增，又，所以时，取得最小值，

所以的最小值是．

故答案为：．

【规律方法】

利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”

（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法

（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.

（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：

① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）

② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.

注意：形如的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．

【变式探究】

1.（陕西省2019年高三第三次教学质量检测）若正数满足，则的最小值为（   ）

A．  B． 

C．  D．3

【答案】A

【解析】由题意，因为，

则，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为，故选A.

2.（2019年高考天津卷文）设，则的最小值为__________.

【答案】

【解析】.

因为，

所以，

即，当且仅当时取等号成立.

又因为

所以的最小值为.

【总结提升】

通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略

拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：

(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；

(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；

(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．

考点三：基本不等式的实际应用

例5.（2021·陕西西安市·交大附中高三其他模拟（理））已知圆锥的母线长为，侧面积为，体积为，则取得最大值时圆锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

设圆锥底面半径为，高为，根据圆锥的侧面积和体积公式，求得，结合基本不等式求得时取得最大值，进而求得圆锥的体积.

【详解】

设圆锥底面半径为，高为，由题意可得母线，

所以圆锥的侧面积为，且，

所以圆锥的体积为，

则，

当且仅当，即时取等号，

此时.

故选：D.

【规律方法】

1.用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

(4)正确写出答案.

2.利用基本不等式求解实际应用题注意点：

(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．

(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．

【易错警示】忽视不等式等号成立的条件！

【变式探究】

（江苏高考真题）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是       .

【答案】30

【解析】总费用，当且仅当，即时等号成立.

考点四：基本不等式的综合运用

例6.（2021·内蒙古赤峰市·高三二模（文））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a的最小值为_________.

【答案】2

【解析】

结合的范围求出角的值，结合余弦定理以及基本不等式求出a的范围，从而可得到a的最小值

【详解】

解：因为，所以，

因为，所以，解得，

由余弦定理得，则，

所以，

因为，，

所以，当且仅当时取等号，

所以，解得，当且仅当时取等号，

所以的最小值为2，

故答案为：2

例7.（2020·黑龙江省佳木斯一中高一期中（理））已知函数（）．

（1）若不等式的解集为，求的取值范围；

（2）当时，解不等式；

（3）若不等式的解集为，若，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）.；（3）.

【解析】

（1）①当即时，，不合题意；

     ②当即时，

，即，

∴，∴

（2）即

即

①当即时，解集为

②当即时，

∵，∴解集为

③当即时，

∵，所以，所以

∴解集为

（3）不等式的解集为，，

即对任意的，不等式恒成立，

即恒成立，

因为恒成立，所以恒成立，

设则，，

所以，

因为，当且仅当时取等号，

所以，当且仅当时取等号，

所以当时，，

所以

【总结提升】

基本不等式的综合应用求解策略

(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．

(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．

(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围．

【变式探究】

1.（天津市河北区2019届高三二模）已知首项与公比相等的等比数列中，若，，满足，则的最小值为__________．

【答案】1

【解析】设等比数列公比为，则首项

由得：，

则： ， ，

，

，.

则（当且仅当，即时取等号）

.

故填.

2.设函数

（Ⅰ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当取最大值时，设，且，求的最小值.

【答案】(1);(2).

【解析】

（Ⅰ）因为函数的对称轴为，且开口向上，

所以在上单调递减，

所以，

∴.

（Ⅱ）根据题意，由（Ⅰ）可得，

即，

所以.

所以.

∵，

则

当且仅当，即，时，等号成立.

所以的最小值为.