高中人教A版 (2019)第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式课后作业题

这是一份高中人教A版 (2019)第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式课后作业题，共24页。

题组一 对基本不等式的理解
1.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式恒成立的是( )
A.a2+b2>2abB.a+b≥2ab
C.1a+1b>2abD.ba+ab≥2
2.不等式(x-2y)+1x-2y≥2成立的前提条件为( )
A.x≥2yB.x>2y
C.x≤2yD.x<2y
3.下列各式中,对任何实数x都成立的一个式子是( )
A.x+1≥2xB.x2+1>2x
C.1x2+1≤1D.x+1x≥2
4.(2020北京东城高一期末)“a,b为正数”是“a+b>2ab”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
题组二 利用基本不等式比较大小
5.已知a,b∈R,则a2+b2与2|ab|的大小关系是( )
A.a2+b2≥2|ab|B.a2+b2=2|ab|
C.a2+b2≤2|ab|D.a2+b2>2|ab|
6.设0A.12B.a2+b2
C.2abD.a
7.若0A.b>a+b2>a>abB.b>ab>a+b2>a
C.b>a+b2>ab>aD.b>a>a+b2>ab
8.若a>b>c,则a-c2与(a-b)(b-c)的大小关系是 .
题组三 利用基本不等式求最值
9.(2020浙江诸暨高二期末)已知函数y=x+4x-1(x>1),则函数的最小值等于( )
A.42B.42+1
C.5D.9
10.若正数x,y满足x+4y-xy=0,则当x+y取得最小值时,x的值为( )
A.9B.8C.6D.3
11.对任意正数x,不等式ax≤x2+1恒成立,则实数a的最大值为( )
A.1B.2C.2D.22
12.(2020福建南平高一期末)若a,b都是正数,则1+ba1+4ab的最小值为( )
A.5B.7C.9D.13
13.(2020安徽合肥一中、合肥六中高一期末)若正数x,y满足x+y=1,则4x+1+1y的最小值为( )
A.447B.275C.143D.92
14.设0题组四 利用基本不等式证明不等式
15.设x>0,求证:x+22x+1≥32.
16.(2020山东烟台高二期末)已知a,b,c均为正数,a,b,c不全相等.
求证:bca+acb+abc>a+b+c.
17.已知x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,求证:1x-11y-11z-1>8.
18.已知a,b,c为不全相等的正数,且abc=1.
求证:a+b+c<1a+1b+1c.
题组五 利用基本不等式解决实际问题
19.某人要用铁管做一个形状为直角三角形且面积为1 m2的铁架框(铁管的粗细忽略不计),在下面四种长度的铁管中,最合理(够用,又浪费最少)的是( )
A.4.6 mB.4.8 mC.5 mD.5.2 m
20.(2020广东广州荔湾高二期末)为满足人民日益增长的美好生活需要,实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求,某大型广场计划进行升级改造.改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体A1B1C1D1,该项目由矩形核心喷泉区ABCD(阴影部分)和四周的绿化带组成.规划核心喷泉区ABCD的面积为1 000 m2,绿化带的宽分别为2 m和5 m(如图所示).当整个项目A1B1C1D1占地面积最小时,核心喷泉区的边BC的长度为( )
A.20 mB.50 m
C.1010 mD.100 m
21.某公司租地建仓库,每月租地费用与仓库到车站的距离成反比,而每月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比.若在距离车站10 km处建仓库,则每月的租地费用和运输费用将分别为2万元和8万元.那么要使每月的两项费用之和最小,仓库应建在离车站 处.
22.某建筑公司用8 000万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少12层,每层建筑面积为4 000平方米的楼房.经初步估计得知,若将楼房建为x(x≥12,x∈N*)层,则每平方米的平均建筑费用s=3 000+50x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?每平方米的平均综合费用的最小值是多少?
注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=购地总费用建筑总面积
能力提升练
题组一 利用基本不等式求最值
1.(2020广东惠州高二期末,)已知x>0,y>0,且2x+y=1,则xy的最大值是( )
A.14B.4C.18D.8
2.(2020山东昌乐一中高二月考,)设a,b满足2a+3b=6(a>0,b>0),则2a+3b的最小值为( )
A.256B.83C.113D.4
3.(多选)(2020广东东莞高二期末,)若正数a,b满足a+b=1,则下列说法正确的是( )
A.ab有最大值14
B.a+b有最小值2
C.1a+1b有最小值4
D.a2+b2有最小值22
4.(2020浙江丽水高一期末,)设正数a,b满足a2+4b2+1ab=4,则a= ,b= .
5.(2020辽宁辽南协作校联考高二期末,)设正数a,b,c满足a+b≥c,则ba+ab+c的最小值为 .
6.(2020天津南开高一期末,)已知a>0,b>0,且a+b=8,则3aba+4b的最大值是 .
7.(2020山东菏泽高二期末,)已知x>y>0,求x2+4y(x-y)的最小值.
题组二 利用基本不等式证明不等式
8.()已知a,b为正数,求证:1a+4b≥2(2+1)22a+b.
9.()若a>b,且ab=2,求证:a2+b2a-b≥4.
10.(2020河北沧州高二期中,)已知a,b,c均为正数,求证:2b+3c-aa+a+3c-2b2b+a+2b-3c3c≥3.
11.()(1)已知a,b,c∈R,求证:a2+b2+b2+c2+c2+a2≥2(a+b+c);
(2)若00,b>0,求证:a2x+b21-x≥(a+b)2.
题组三 基本不等式在实际问题中的应用
12.()《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一方法,很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明,因此这种方法也被称之为“无字证明”.如图所示,AB是半圆O的直径,点C是AB上一点(不同于A,B,O),点D在半圆O上,且CD⊥AB,CE⊥OD于点E,设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的“无字证明”为( )
A.ab≤a+b2(a>0,b>0)
B.a+b2<2aba+b(a>0,b>0,a≠b)
C.2aba+b≤ab(a>0,b>0)
D.2aba+b0,b>0,a≠b)
13.()一批货物随17列火车从A市均以v千米/时的速度匀速直达B市,已知两地铁路线长400千米,为了安全,每两列火车的间距不得小于v202千米(火车的长度忽略不计),那么这批货物全部运到B市,最快需要 小时.
14.(2020山东滨州高一上期末,)物联网(Internet f Things,缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体,让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络,其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等,具有十分广阔的市场前景.现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费为y1(单位:万元),仓库到车站的距离为x(单位:千米),x>0,其中y1与x+1成反比,每月库存货物费y2(单位:万元)与x成正比,若在距离车站9千米处建仓库,则y1和y2分别为2万元和7.2万元.这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处,才能使两项费用之和最少?最少费用是多少?深度解析
15.()2020年1月,在抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情中,武汉市为了落实“四类人员”分类集中管理措施,迅速启动“方舱医院”建设.某单位决定用募捐的18.8万元把一会展中心(长方体状,高度恒定)改造成方舱医院,假设方舱医院的后墙利用原墙不花钱,正面用一种复合板隔离,每米造价40元,两侧用砖砌墙,每米造价45元,顶部每平方米造价20元.问:
(1)改造后方舱医院的面积S的最大值是多少?
(2)为使S达到最大,且实际造价又不超过预算,那么正面复合板应设计为多长?
答案全解全析
基础过关练
1.D ∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴A不符合题意;当a<0,b<0时,明显B,C不符合题意;∵ab>0,∴ba>0,ab>0,∴ba+ab≥2 ba·ab=2,当且仅当a=b时等号成立,∴D符合题意.
2.B 因为不等式成立的前提条件是x-2y和1x-2y均为正数,所以x-2y>0,即x>2y,故选B.
3.C 对于A,当x≤0时,无意义,故A不成立;对于B,当x=1时,x2+1=2x,故B不成立;对于C,x2+1≥1,所以1x2+1≤1成立;对于D,当x<0时,不成立.故选C.
4.D 若a,b为正数,取a=1,b=1,则a+b=2ab,则“a,b为正数”不是“a+b>2ab”的充分条件;若a+b>2ab,取a=1,b=0,则b不是正数,则“a,b为正数”不是“a+b>2ab”的必要条件.故“a,b为正数”是“a+b>2ab”的既不充分也不必要条件,故选D.
5.A ∵a2+b2-2|ab|=(|a|-|b|)2≥0,∴a2+b2≥2|ab|(当且仅当|a|=|b|时,等号成立).
6.B 解法一:因为02a,所以a<12.又因为a2+b2≥2ab,所以四个数中的最大数一定不是a和2ab.又因为1=a+b>2ab,所以ab<14,所以a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab>1-12=12,
即a2+b2>12,故选B.
解法二:特值检验法:取a=13,b=23,则2ab=49,a2+b2=59.因为59>12>49>13,所以a2+b2最大,故选B.
7.C ∵0a+b,∴b>a+b2>ab.
∵b>a>0,∴ab>a2,∴ab>a.
故b>a+b2>ab>a.
8.答案 a-c2≥(a-b)(b-c)
解析 因为a>b>c,所以a-c2=(a-b)+(b-c)2≥(a-b)(b-c),当且仅当a-b=b-c,即2b=a+c时,等号成立.
9.C 因为x>1,所以y=x+4x-1=(x-1)+4x-1+1≥2(x-1)·4x-1+1=5.
当且仅当x-1=4x-1,即x=3时,等号成立.故选C.
10.C ∵x>0,y>0,x+4y=xy,∴4x+1y=1,
∴x+y=(x+y)4x+1y=5+xy+4yx≥5+2xy·4yx=9,当且仅当x=2y时,等号成立,此时x=2y,x+4y=xy,解得x=6,y=3.故选C.
11.C ∵x>0,ax≤x2+1,
∴a≤x2+1x=x+1x.
又∵x+1x≥2x·1x=2当且仅当x=1x,即x=1时取得等号,∴a≤2,故a的最大值为2.
12.C 因为a,b都是正数,所以1+ba1+4ab=5+ba+4ab≥5+2ba·4ab=9(当且仅当b=2a时等号成立),故选C.
13.D ∵x>0,y>0,x+y=1,∴x+1+y=2,
∴4x+1+1y=x+1+y2·4x+1+1y=12·1+4+4yx+1+x+1y≥12(5+24)=92当且仅当x=13,y=23时,等号成立,故选D.
14.答案 4
解析 ∵02>0,∴y=3x(8-3x)≤3x+(8-3x)2=82=4,
当且仅当3x=8-3x,即x=43时等号成立.
∴当x=43时,y=3x(8-3x)有最大值4.
15.证明 因为x>0,所以x+12>0,
所以x+22x+1=x+1x+12=x+12+1x+12-12≥2x+12·1x+12-12=32.
当且仅当x+12=1x+12,即x=12时,等号成立.故x>0时,x+22x+1≥32.
16.证明 ∵a>0,b>0,c>0,
∴bca+acb≥2abc2ab=2c,
acb+abc≥2a2bcbc=2a,
bca+abc≥2acb2ac=2b.
当且仅当a=b=c时上式等号均成立,
又a,b,c不全相等,
故上述等号至少有一个不成立.
∴bca+acb+abc>a+b+c.
17.证明 因为x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,
所以1x-1=1-xx=y+zx>2yzx,①
1y-1=1-yy=x+zy>2xzy,②
1z-1=1-zz=x+yz>2xyz,③
由①×②×③,
得1x-11y-11z-1>8.
18.证明 因为a,b,c都是正数,且abc=1,所以1a+1b≥21ab=2c,
1b+1c≥21bc=2a,
1a+1c≥21ac=2b,
三个不等式左、右两边分别相加,得
21a+1b+1c≥2(a+b+c),
当且仅当a=b=c时,等号成立.
又因为a,b,c不全相等,
所以a+b+c<1a+1b+1c.
19.C 设直角三角形两直角边长分别为x m,y m,则12xy=1,即xy=2.
周长l=x+y+x2+y2≥2xy+2xy=22+2≈4.83(m),
当且仅当x=y时等号成立.结合实际问题,可知选C.
20.B 设BC=x m,则CD=1 000x m,
所以S矩形A1B1C1D1=(x+10)1 000x+4
=1 040+4x+10 000x
≥1 040+24x·10 000x=1 440,
当且仅当4x=10 000x,即x=50时,等号成立,
所以当x=50时,整个项目占地面积最小.故选B.
21.答案 5 km
解析 设仓库建在离车站x km处,每月租地费用y1=k1x(k1≠0),每月运输费用y2=k2x(k2≠0).把x=10,y1=2代入y1=k1x,得k1=20;把x=10,y2=8代入y2=k2x,得k2=45,
故每月两项费用之和y=20x+45x≥220x·45x=8,当且仅当20x=45x,即x=5时等号成立.
22.解析 设楼房每平方米的平均综合费用为y元.
依题意得y=s+8 000×10 0004 000x=50x+20 000x+3 000(x≥12,x∈N*).
因为50x+20 000x+3 000
≥2×50x·20 000x+3 000=5 000,
当且仅当50x=20 000x,即x=20时,等号成立,
所以当x=20时,y取得最小值5 000.
所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为20层,每平方米的平均综合费用的最小值为5 000元.
能力提升练
1.C 由题意得,xy=12×2xy≤12×2x+y22=12×122=18,
当且仅当x=14,y=12时等号成立,所以xy的最大值是18.故选C.
2.A ∵2a+3b=6,∴a3+b2=1,
∴2a+3b=2a+3ba3+b2=136+ba+ab≥136+2ba·ab=136+2=256,
当且仅当ba=ab,即a=b=65时,等号成立,所以2a+3b的最小值为256.
3.AC ∵a>0,b>0,且a+b=1,
∴1=a+b≥2ab,∴ab≤14当且仅当a=b=12时,等号成立,
∴ab有最大值14,∴A正确;
∵(a+b)2=a+b+2ab≤a+b+2·a+b2=2当且仅当a=b=12时,等号成立,
∴a+b≤2,即a+b有最大值2,∴B错误;
∵1a+1b=a+bab=1ab≥1a+b22=4当且仅当a=b=12时,等号成立,∴1a+1b有最小值4,∴C正确;
∵a2+b2≥2ab当且仅当a=b=12时,等号成立,2ab≤12,∴a2+b2的最小值不是22,∴D错误.故选AC.
4.答案 1;12
解析 a2+4b2+1ab=(a-2b)2+4ab+1ab≥(a-2b)2+24ab·1ab=(a-2b)2+4,当且仅当a-2b=0且4ab=1ab,即a=1,b=12时,等号成立,
所以a=1,b=12.
5.答案 2-12
解析 ∵a,b,c是正数,且满足a+b≥c,
∴a+2b≥b+c,
∴ba+ab+c≥ba+aa+2b=ba+11+2ba
=122ba+1+11+2ba-12≥2-12,
当且仅当a+b=c且b=2-12a时等号成立.
故答案为2-12.
6.答案 83
解析 ∵a>0,b>0,且a+b=8,(a+b)·4a+1b=5+4ba+ab≥5+24ba·ab=9,
当且仅当4ba=ab,即a=2b时,等号成立,所以4a+1b的最小值为98,所以3aba+4b=3a+4bab=34a+1b的最大值为398=3×89=83.故答案为83.
7.解析 因为x>y>0,所以x-y>0,
所以0所以x2+ 4y(x-y)≥x2+ 16x2≥2x2·16x2=8,
当且仅当y=x-y,x2=16x2,x>y>0,即x=2,y=1时,等号成立,
故x2+4y(x-y)的最小值为8.
8.证明 因为a>0,b>0,
所以(2a+b)1a+4b=6+ba+8ab≥6+2ba·8ab=6+42=2(2+1)2(当且仅当b=22a时,等号成立).
因为2a+b>0,
所以1a+4b≥2(2+1)22a+b.
9.证明 a2+b2a-b=(a-b)2+2aba-b=(a-b)2+4a-b=(a-b)+4a-b≥2(a-b)·4a-b=4,当且仅当a=1+3,b=-1+3或a=1-3,b=-1-3时等号成立.
所以a2+b2a-b≥4.
10.证明 ∵a,b,c均为正数,
∴2ba+a2b≥2(当且仅当a=2b时等号成立),
3ca+a3c≥2(当且仅当a=3c时等号成立),
3c2b+2b3c≥2(当且仅当2b=3c时等号成立),
以上三式相加,得2ba+a2b+3ca+a3c+3c2b+2b3c≥6(当且仅当a=2b=3c时等号成立),
∴2ba+a2b-1+3ca+a3c-1+3c2b+2b3c-1≥3(当且仅当a=2b=3c时等号成立),
即2b+3c-aa+a+3c-2b2b+a+2b-3c3c≥3(当且仅当a=2b=3c时等号成立).
11.证明 (1)∵a+b2≤a2+b22,∴a2+b2≥a+b2=22(a+b)(当且仅当a=b时,等号成立).
同理,b2+c2≥22(b+c)(当且仅当b=c时,等号成立),a2+c2≥22(a+c)(当且仅当a=c时,等号成立).
三式相加得a2+b2+b2+c2+a2+c2≥22(a+b)+22(b+c)+22(a+c)
=2(a+b+c)(当且仅当a=b=c时,等号成立).
(2)∵00.
又∵a>0,b>0,
∴左边=(x+1-x)a2x+b21-x=a2+b2+x1-x·b2+1-xx·a2≥a2+b2+2x1-x·b2·1-xx·a2=a2+b2+2ab=(a+b)2=右边当且仅当x1-x·b2=1-xx·a2,即x=aa+b时,等号成立.
故a2x+b21-x≥(a+b)2.
12.D 由AC=a,BC=b,可得半圆O的半径DO=a+b2,
易得DC=AC·BC=ab, DE=DC2DO=2aba+b.
∵DE∴2aba+b0,b>0,a≠b).
故选D.
13.答案 8
解析 设这批货物从A市全部运到B市需要的时间为t小时,则
t=400+16v202v=400v+16v400
≥2400v×16v400=8(小时),
当且仅当400v=16v400,即v=100时,等号成立,所以这批货物全部运到B市,最快需要8小时.
14.解析 设y1=kx+1(k≠0),y2=mx(m≠0),其中x>0.
当x=9时,y1=k9+1=2,y2=9m=7.2,
解得k=20,m=0.8,
所以y1=20x+1,y2=0.8x,
设两项费用之和为z(单位:万元),
则z=y1+y2=20x+1+0.8x
=20x+1+0.8(x+1)-0.8
≥220x+1·0.8(x+1)-0.8
=7.2.
当且仅当20x+1=0.8(x+1),即x=4时,等号成立,
所以这家公司应该把仓库建在距离车站4千米处才能使两项费用之和最少,最少费用是7.2万元.
解题模板 已知函数类型的应用问题,可以用待定系数法求出解析式;含分式的函数求最大(小)值,往往利用基本不等式求解,解题时要注意验证基本不等式成立的三个条件.
15.解析 (1)设正面复合板长为x m,侧面长为y m,总造价为z元,则方舱医院的面积
S=xy,总造价z=40x+2×45y+20xy=40x+90y+20xy.
由条件知z≤188 000,即4x+9y+2xy≤18 800.
∵x>0,y>0,
∴y≤18 800-4x9+2x.
令t=9+2x,则x=t-92(t>9),
∴S=xy≤t-92·18 800-(2t-18)t
=-t2+9 418t-9×9 409t
=-t+9×9 409t+9 418
≤-2t·9×9 409t+9 418
=-2×3×97+9 418
=8 836,
当且仅当t=9×9 409t,即t=291时等号成立.
故S的最大值为8 836 m2.
(2)由(1)知,当S=8 836 m2时,t=291,t=9+2x,∴x=141,则y=8 836141=1883.
∴方舱医院的面积S达到最大值8 836 m2,实际造价又不超过预算时,正面复合板的长应设计为141 m.