数学必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式课时练习

2.2  基本不等式

1．重要不等式

当a、b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

2．基本不等式

当a>0，b>0时有≤，当且仅当a＝b时，等号成立．

3．基本不等式与最值

已知x、y都是正数．

(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值．

(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值．

题型一  基本不等式求最值

【例1-1】（1）（湖南邵阳市）若正实数x，y满足2x+y=1.则xy的最大值为（    ）

A． B． C． D．

（2）（六安市裕安区新安中学）已知，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【例1-2】（1）（北京高一其他模拟）若，则函数的最小值为______．

（2）（云南文山壮族苗族自治州）已知，函数的最小值为（    ）

A．4 B．7 C．2 D．8

【例1-3】（1）（上海市大同中学）设、为正数，且，则的最小值为_______.

（2）（河北石家庄市）已知，且，则的最小值是（    ）

A．4 B．5 C．6 D．9

【例1-4】（永丰县永丰中学高一期末）函数（）的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【题型专练】

1．（浙江高一期末）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则xy（    ）

A．有最大值为1 B．有最小值为1 C．有最大值为 D．有最小值为

2．（山西晋中市·高一期末）已知，，且，则ab的最大值为（    ）

A． B．4 C． D．2

3.（苏州市苏州高新区第一中学高一月考）若，则（    ）

A．有最小值，且最小值为 B．有最大值，且最大值为2

C．有最小值，且最小值为 D．有最大值，且最大值为

4．（北京师范大学万宁附属中学）当时，取得最小值时x的值为（    ）

A．0 B． C．3 D．2

5．（安徽省泗县第一中学）函数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

6．（北京师范大学万宁附属中学）已知，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

7．（苏州市第五中学校高一月考）正实数，满足：，则当取最小值时，____.

8．（浙江高一期末）若正数x，y满足，则的最小值是__________．

9．（全国高一课时练习）函数的最小值是___________.

10．（河北联邦国际学校高一月考）已知，则 的最大值是     

11．（天津市蓟州区擂鼓台中学高一月考）函数的最小值是    

题型二  利用基本不等式求参数

【例2】（1）（北京东直门中学）若对任意的都有，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

（2）（浙江高一期末），，且，不等式恒成立，则的范围为_______.

【题型专练】

1．（广东深圳市）已知，若不等式恒成立，则的最大值为（    ）

A．13 B．14 C．15 D．16

2．（江苏苏州市）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

3．（临澧县第一中学）已知，且，若恒成立，则正实数的最小值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．6

4．（浙江）当时，不等式恒成立，则实数的最大值为（    ）

A． B． C． D．

题型三  利用基本不等式比较大小

【例3】（全国高一课时练习）已知都是正数，且.

求证：（1）；（2）.

【题型专练】

1．（全国高一课时练习）设，求证：.

2．（全国高一课时练习）已知：、是正实数，求证：.

3.（长沙市南雅中学）已知，，，求证：

（1）；（2）.

4．（湖南）已知，.

（1）求证：；

（2）若，，，求证：.

题型四   基本不等式的概念理解

【例4】（1）（广东深圳市）（多选）下列结论不正确的是（    ）

A．当时，

B．当时，的最小值是2

C．当时，的最小值是

D．设，，且，则的最小值是

（2）（江苏南通市）（多选）当，时，下列不等式中恒成立的有（    ）

A． B． C． D．

【题型专练】

1．（淮安市阳光学校）（多选）下列判断正确的有（    ）

A． B．

C． D．

2．（江苏常州市）（多选）设正实数、满足，则（    ）

A．有最大值 B．有最小值

C．有最小值 D．有最大值

3．（全国高一课时练习）（多选）已知、均为正实数，则下列不等式不一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

4．（江苏镇江市·高一月考）（多选）已知、、．若，则（    ）

A． B． C． D．

5．（辽宁大连市）（多选）已知正数，，则下列不等式中恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

6．（山东高一期中）（多选）若，则下列不等式中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

题型五  实际生活中的基本不等式

【例5】（广东东莞市·高一期末）2020年7月，东莞市松山湖科学城获得国家发改委、科技部批复，成为粤港澳大湾区综合性国家科学中心.已知科学城某企业计划建造一间长方体实验室，其体积为1200，高为3m.如果地面每平方米的造价为150元，墙壁每平方米的造价为200元，房顶每平方米的造价为300元，则实验室总造价的最小值为（    ）

A．204000元 B．228000元 C．234500元 D．297000元

【题型专练】

1．（南京市秦淮中学）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，则一年的总运费与总存储费用和最小为（    ）

A．60万元 B．160万元 C．200万元 D．240万元

2．（吉林延边朝鲜族自治州·高一期末）某人决定自驾汽车匀速自驾游，全段路程，速度不能超过，而汽车每小时的运输成本为元，则当全程运输成本最小时，汽车的行驶速度为（    ）

A． B． C． D．

3．（安徽淮南市·高一期末）建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，若池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，则这个水池的最低造价为 （    ）

A．1120元 B．1280元 C．1760元 D．1960元

4．（安徽宿州市·高一期末）某电商自营店，其主打商品每年需要6000件，每年次进货，每次购买件，每次购买商品需手续费300元，已购进未卖出的商品要付库存费，可认为平均库存量为，每件商品库存费是每年10元，则要使总费用(手续费+库存费)最低，则每年进货次数为________________.