人教版七年级下册9.3 一元一次不等式组教学设计及反思

*第 2 课时 一元一次不等式组的应用

【教学目标】

1. 通过由学生动手操作:用各种不同长度的木棒去拼三角形,归纳出能拼出三角形的各  边长之间的关系和不能拼成三角形的三边的特征, 目的是归纳出同时符合几不同条件的不等式的公共范围,即不等式组的解集.
2. 通过确定不等式组的解集与确定方程组的解集进行比较, 抽象出这二者中的异同,由此理解不等式组的公共解集.
3. 通过由一元一次不等式,一元一次不等式的解集、解不等式的概念来类推学习一元一  次不等式组,一元一次不等式组的解集,解不等式组这些概念, 发展学生的类比推理能力.

【教学重点与难点】

1、 难点：一元一次不等式组解集的理解

2、重点：一元一次不等式组的解集和解法。

【教学过程】

一、创设情境,导入新课

在上课之前,老师请大家来帮一个忙,帮老师来解决一道难题: 老师有一个熟人姓王,他有一个哥哥和一个弟弟,哥哥的年龄是 20 岁,小王的年龄的 2 倍加上他弟弟年龄的 5 倍等于97.现在小王要老师猜猜他和他弟弟的年龄各是多少? 俗话说三个臭皮匠,可抵一个诸葛亮, 现在我们全班同学可抵得上很多诸葛亮, 所以老师相信大家一定有办法的.

在上述已知条件中只有一个等量关系式:小王年龄的2 倍+弟弟年龄的5 倍=97,而小王及弟弟的年龄是未知的,他们年龄之间的等量关系也没有说出,在一个等式中有两个未知数是   无法确定未知数的值,还必须再找出另一个关系式,还有已知条件即是哥哥的年龄为 20 岁,

如何利用这个已知条件呢?只有利用一个隐含的条件哥哥、小王、弟弟三者的年龄是逐渐减

小的，即是 20>小王的年龄>弟弟的年龄,若设小王有 x 岁,弟弟为 y 岁,则有 y<x<20,这是一

个不等量,在等式中可知x=

97  5 y

2

,代入不等式中得y<

97  5 y

2

<20,怎么样?得到一个不等

5

式组了!从而得出 11

2

6

<y<13

7

,而 x、y 为正整数,故 y=13,x=16, 也就是说不等式组也是解

决实际问题的一种工具. 所以学习解不等式组是为了更好地解决实际问题. 二、师生互动,课堂探究

(一)提出问题,引发讨论

当一个未知数同时满足几个不等关系时,我们就按这些关系分别列几个不等式,这样就  得到不等式组,用不等式组解决实际问题时, 其公共解是否一定为实际问题的解呢?请举例说明.

例:甲以 5km/时的速度进行跑步锻炼,2 小时后,乙骑自行车从同地出发沿同一条路追赶甲.但他们两人约定,乙最快不早于 1 小时追上甲,最慢不晚于 1 小时 15 分追上甲.你能确定乙骑车的速度应当控制在什么范围吗?

分析:甲以 5km/时的速度前进,2 小时后,甲前进了 10km,此时,乙再开始骑自行车追赶甲, 但乙追上甲的时间不早于 1 小时即是不能比 1 小时少,故乙追上甲的最少时间应多于 1 小时,

而这段时间甲仍在前进,乙追上甲时所走的路程不止他 1 小时的路程, 故有不等式:v2·1≤

1

(2+1)×5,由此得v2≤15;又因为乙追上甲的时间不晚于 1 小时 15 分(1

4

小时),也就是乙追

1

上甲的时间不能超过 1

4

1

1

小时,即比 1

4

小时要少, 实际上乙追上甲所走的路程要比他在

1 小时所走的路程少,在乙开始追甲时, 甲也在以原来的速度继续前进,实际上甲走的总

4

1

时间应比(2+1

4

1

)小时少,故又有不等式:v2·1

4

1

≥(2+1

4

5

)×5 即

4

13

v2≥

4

×5,故 v2≥13.

v  1  (2 1)  5



同一个人的速度,既要比 13 大又要比 15 小,故它的速度就是不等式组v 1 1

  2 1

 (2 1 )  5

4 4

的公共解集:13≤v2≤15.由于速度是一个正数,既可以是整数,也可以是分数,因此,乙的速  度就是根据题意所列不等式组的公共解集.

但由此一例,不能代表全体,实际上也有方程的解不全是不等式组的解的时候.   (二)导入知识,解释疑难

1. 教材内容讲解

如课本例 2(P145)(请同学自己阅读,动手列不等式组进行求解,再将自己答案与课本答

2

案进行比较)不等式组的解集为 15

3

2

<x<16

3

,但 x 表示的是生产的产品件数, 不能为分数,

故需取整,即 x=16.

又如:将若干只鸡放入若干个笼,若每个笼里放4 只,则有1 只鸡无笼可放;若每个笼里放

5 只,则有 1 笼无鸡可放,那么至少有多少只鸡,多少个笼?

分析:根据若每个笼里放 4 只鸡,则有 1 只鸡无笼可放这句话可得“鸡的数量为 4×笼的数量＋1”,若每个笼里放 5 只,则有一笼无鸡可放, 是否有鸡可放的笼里都放满了呢?这就有两种可能,可能最后一笼没有 5 只,也可能最后一笼恰好也有 5 只,因此可知“4×笼的数量＋ 1”小于或等于“5×(笼的数量－1)”，但“4 ×笼的数量＋1”肯定比“5×(笼的数量－2)”要多，于是:

4 y 1  x

设有 x 只鸡,y 个笼,根据题意

5( y  2)  x  5( y 1)

∴5(y-2)<4y+1≤5(y-1)

解此不等式组得:y≥6,x<11 故 6≤y<11

此不等式组的解中包括整数和分数,但 y 表示鸡的笼子不可能为分数,故 y 只能取 6、7、8、9、10 这五个数.而题中问至少有多少只鸡,多少个笼子,故 y 只能为 6,允的只数为 4×

6+1=25 只

2. 探究活动

把 16 根火柴首尾相接,围成一个长方形(不包括正方形),怎样找到围出不同形状的长方形个数最多的办法呢?最多个数又是多少呢?

分析:不妨假设每根火柴长为 1,则 16 根火柴长为 16,围成长方形, 则相邻两边的和为 8,

如果一边长为 x,另一边长则为 8-x,且 8-x 必须大于 x.又 x 必须为大于 1 的数最小等于 1,

x  1

于是得不等式组

8  x  x

,解不等式组得1≤x<4,因为x 为正整数,所以x 所取的值为1,2,3.

由此只要分别取1 根火柴,2 根火柴,3 根火柴作相邻两边中较短的一条边,对应的邻边也分别取 7 根火柴,6 根火柴,5 根火柴,就能围成所有不同形状的长方形, 这样的长方形一共有 3 个.

(三)归纳总结,知识回顾

应用不等式组解决实际问题的步骤:1.审清题意;2.设未知数, 根据所设未知数列出不等式组;3.解不等式组;4.由不等式组的解确立实际问题的解;5.作答.( 与列方程组解应用题进行比较)

三、 作业设计(一)双基练习

2x  ky  4

1.已知方程组x  2 y  0

x  a

有正整数解,则 k 的取值范围是       .



2.若不等式组 2x 1  1

无解,求 a 的取值范围.

 3

3.当 2(m-3)<

10  m

3

时,求关于 x 的不等式

m(x  5) 4

>x-m 的解集.

4. 某学校为学生安排宿舍,现有住房若干间,若每间 5 人还有 14 人安排不下,若每间 7 人,则有一间还余一些床位,问学校有几间房可以安排学生住宿?可以安排住宿的学生多少

人?

(二)创新提升

5. 某商场为了促销,开展对顾客赠送礼品活动,准备了若干件礼品送给顾客, 在一次活动中,如果每人送 5 件,则还余 8 件,如果每人送 7 件,则最后一人还不足 3 件. 设该商场准备了 m 件礼品,有 x 名顾客获赠,请回答下列问题:

(1) 用含 x 的代数式表示 m.

(2) 求出该次活动中获赠顾客人数及所准备的礼品数. (三)探究拓展

6. 乘某城市的一种出租汽车起价是 10 元(即行驶路程在 5km 以内都需付 10 元车费),达成或超过 5km 后,每增加 1km,加价 1.2 元(不足 1km 部分按 1km 计).现在某人乘这种出租汽车从甲地到乙地,支付车费 17.2 元,从甲地到乙地的路程大约是多少?

上述问题，在讨论、交流的基础上，由学生自己解决，教师可适当点评。  四、总结归纳

学习一元一次不等式组是数学知识拓展的需要，也是现实生活的需要；学习不等式组  时，我们可以类比方程组、方程组的解来理解不等式组、不等式组的解集的概念；求不等   式组的解集时，利用数轴很直观，也很快捷，这是一种数与形结合的思想方法，不仅现在   有用，今后我们还会有更深的体验．