2021学年6.1.4 数乘向量复习练习题

数 乘 向 量

(15分钟　30分)

1.点M在AB上,且=,则等于 (　　)

A.-3　　　　　　B.

C.-     D.3

【解析】选B.如图=,所以=.

【补偿训练】

(2020·扬州高一检测)已知点P在直线AB上,且=4,设=λ,则实数λ=________. 

【解析】因为,所以P是四等分点,因此=.

答案:

2.式子:①+=0,②0·=0,③-=,其中不正确的个数为 (　　)

A.1  B.2  C.3  D.0

【解析】选C.因为+=0≠0,0·=0≠0,-=,所以都不正确.

3.点C在线段AB上,且=,=λ,则λ为 (　　)

A.　　　B.　　　C.-　　　D.-

【解析】选D.由题意知=,即=-,所以=×=-,故λ=-.

4.已知|a|=4,|b|=8,若两向量同向,则向量a与向量b的关系为b=________a. 

【解析】由于|a|=4,|b|=8,则|b|=2|a|,又两向量同向,故b=2a.

答案:2

5.已知点C在线段AB的延长线上(在B点右侧),且AB∶AC=2∶3.

①用表示;②用表示.

【解析】如图a,因为点C在线段AB的延长线上,且AB∶AC=2∶3,所以AB=2BC,AC=3BC.

①如图b,向量与方向相同,

所以=2;

②如图c,向量与方向相反,

所以=-3.

(30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分,共20分)

1.如图,网格纸上小正方形的边长为1,D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点,则(　　)

A.=5且=2.5

B.=5且=2

C.=6且=2

D.=6且=3

【解析】选B.因为DE是△ABC的中位线,所以BC=2DE,即=2.

根据勾股定理可求得==5.

2.已知A,B,C三点共线,且C为线段AB的靠近B的五等分点,则下列结论正确的个数为 (　　)

①=5;②∶=4∶1;

③=-.

A.0　　　B.1　　　C.2　　　D.3

【解析】选C.由题意知,=-5,=-,∶=4∶1,所以②③正确.

3.(2020·苏州高一检测)在△ABC中,M是BC的中点.若=a,=b,则=

(　　)

A.(a+b)   B.(a-b)

C.a+b    D.a+b

【解析】选D.在△ABC中,M是BC的中点,又=a,=b,所以=+=+=a+b.

4.若5=-3,且||=||,则四边形ABCD是 (　　)

A.平行四边形　　　　　　B.菱形

C.矩形      D.等腰梯形

【解析】选D.由5= -3知,∥且||≠||,故此四边形为梯形,又因为||=||,所以梯形ABCD为等腰梯形.

二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)

5.向量a=2e,b=-6e ,则下列说法正确的是 (　　)

A.a∥b

B.向量a,b 方向相反

C.=3

D.b=-3a

【解析】选ABD.因为b=-6e=-3=-3a,所以a∥b,a,b 方向相反,且3=.

6.(2020·泰安高一检测)设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是(　　)

A.若=+,则点M是边BC的中点

B.若=2-,则点M在边BC的延长线上

C.若=--,则点M是△ABC的重心

D.若=x+y,且x+y=,则△MBC的面积是△ABC面积的

【解析】选CD.A中:=+⇒-=-,即:=-,则点M不是边BC的中点.

B中:=2-⇒-=-,所以=,则点M在边CB的延长线上,所以B错误.

C中:

设BC中点D,则=--=+=2,由重心性质可知C成立.

D中:=x+y且x+y=⇒2=2x+2y,2x+2y=1,设=2,所以=2x+2y,2x+2y=1,可知B,C,D三点共线,所以△MBC的面积是△ABC面积的.

【光速解题】选CD.本题中CD选项较难判断,所以重点放在AB选项的判断上,通过AB判断(见本题解析)易知两选项不正确,所以用排除法选CD.

三、填空题(每小题5分,共10分)

7.已知=-,=λ,则λ的值为________. 

【解析】

因为=-,所以P,P1,P2三点共线,且P2在线段PP1的反向延长线上,

所以=, 所以λ=.

答案:

【补偿训练】

已知点M是△ABC所在平面内的一点,若满足6--2=0,且S△ABC=λS△ABM,则实数λ的值是________. 

【解析】记2=,因为-+2-2=0,

所以=2,S△ABC=S△ABN.

又因为S△ABM=S△ABN,所以S△ABC=3S△ABM,从而有λ=3.

答案:3

8.已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若-3+2=0,则=______ ,=________. 

【解析】因为-3+2=0,

所以-=2(-),所以=2,所以=2.

答案:2　2

四、解答题(每小题10分,共20分)

9.点E,F分别为四边形ABCD的对角线AC,BD的中点,设=a,=b,试用a,b表示.

【解析】如图,取AB的中点P,

连接EP,FP,在△ABC中,因为EP是△ABC的中位线,所以==a,在△ABD中,因为FP是△ABD的中位线,所以==-b,在△EFP中,

=+=-a-b=-(a+b).

10.已知a,b是两个非零向量,判断下列各命题的真假,并说明理由.

(1)a的方向与a的方向相同,且a的模是a的模的倍.

(2)-3a的方向与6a的方向相反,且-3a的模是6a的模的.

(3)-4a与4a是一对相反向量.

(4)a-b与-(b-a)是一对相反向量.

(5)若a,b不共线,则0·a与b不共线.

【解析】(1)真命题.因为>0,所以a与a同向.

因为|a|=|a|,所以a的模是a的模的倍.

(2)真命题.因为-3<0,

所以-3a与a方向相反且|-3a|=3|a|.

又因为6>0,所以6a与a方向相同且|6a|=6|a|,

所以-3a与6a方向相反且模是6a的模的.

(3)真命题.由数乘定义和相反向量定义可知.

(4)假命题.因为a-b与b-a是相反向量,

所以a-b与-(b-a)是相等向量.

(5)假命题.0·a=0,所以0·a与b共线.

1.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征,正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且=.下列关系中正确的是(　　)

A.-=

B.+=

C.-=

D.+=

【解析】选A.在题干所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且=.

在A中,-=-==,故A正确;在B中,+=+==,故B错误;在C中,-=-=,故C错误;在D中,+=+,==-,若+=,则=0,不合题意,故D错误.

2.设V是平面向量的集合,映射f:V→V满足f(a)=则对任意的a,b∈V,λ∈R.

求证:f(|a|·a)=f(a).

【证明】若a=0,则f(|a|·a)=f(a)=0;若a≠0,则f(|a|·a)=·a=a,且f(a)=a,所以f(|a|·a)=f(a).综上可得对任意向量a,均有f(|a|·a)=f(a).

【补偿训练】

(多选题)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理:“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上,而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半”这就是著名的欧拉线定理.设△ABC中,点O,H,G分别是外心、垂心、重心,下列四个选项中结论错误的是              (　　)

A.=2

B.++=0

C.设BC边中点为D,则有=3

D.==

【解析】选CD.如图,

A.由题得=2,OD⊥BC,AH⊥BC,所以OD∥AH,所以=2,所以该选项正确;

B.+=2=-,所以++=0,所以该选项正确;

C.因为D为BC中点,G为△ABC的重心,所以=2,又因为GH=2OG,∠AGH=∠DGO,

所以△AGH∽△DGO,所以=2,故C选项错误;D.向量,,的模相等,方向不同,故D选项错误.