高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.1.1 向量的概念课时训练

　向量的概念

(15分钟　30分)

1.(2020·眉山高一检测)已知a为单位向量,下列说法正确的是 (　　)

A.a的长度为一个单位

B.a与0不平行

C.a的方向为x轴正方向

D.a的方向为y轴正方向

【解析】选A.因为已知a为单位向量,所以a的长度为一个单位,故A正确;因为a与0平行,故B错误;由于a的方向是任意的,故C,D错误.

【补偿训练】

下列说法正确的是 (　　)

A.有向线段与表示同一向量

B.两个有公共终点的向量是平行向量

C.零向量与单位向量是平行向量

D.对任意向量a,是一个单位向量

【解析】选C.向量与方向相反,不是同一向量,A说法错误;有公共终点的向量的方向不一定相同或相反,B说法错误;当a=0时,无意义,D说法错误;零向量与任何向量都是平行向量,C说法正确.

2.(2020·绵阳高一检测)下列命题中正确的是 (　　)

A.=⇒a=b

B.>⇒a>b

C.a=b⇒a∥b

D.单位向量都相等

【解析】选C.对于选项A,模长相等的向量不一定是相等的向量,所以错误.对于B,由于向量不能比较大小,所以错误.对于选项C,由于向量相等,则可以知道它们必定共线,成立,对于D,由于单位向量方向不一定相同,所以错误.

3.在四边形ABCD中,若∥,则四边形ABCD是 (　　)

A.平行四边形  B.梯形

C.菱形    D.平行四边形或梯形

【解析】选D.因为在四边形ABCD中,∥,且与的大小未知,所以四边形ABCD是平行四边形或梯形.

4.如图,四边形ABCD是菱形,则在向量,,,,和中,相等的有________对. 

【解析】=,=.其余不等.

答案:2

【补偿训练】

已知在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,则||=________. 

【解析】易知AC⊥BD,且∠ABD=30°,设AC与BD交于点O,则AO=AB=1.

在Rt△ABO中,易得||=,

则||=2||=2.

答案:2

5.如图,D,E,F分别是正三角形ABC各边的中点.

(1)写出图中所示向量与向量长度相等的向量.

(2)写出图中所示向量与向量相等的向量.

(3)分别写出图中所示向量与向量,共线的向量.

【解析】(1)与长度相等的向量是,,,,,,,.

(2)与相等的向量是,.

(3)与共线的向量是,,;

与共线的向量是,,.

【补偿训练】

设W是由一平面内的n(n≥3)个向量组成的集合.若a∈W,且a的模不小于W中除a外的所有向量和的模,则称a是W的极大向量.有下列命题:

①若W中每个向量的方向都相同,则W中必存在一个极大向量;

②给定平面内两个不共线向量a,b,在该平面内总存在唯一的平面向量c=-a-b,使得W={a,b,c}中的每个元素都是极大向量;

③若W1={a1,a2,a3},W2={b1,b2,b3}中的每个元素都是极大向量,且W1,W2中无公共元素,则W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量.

其中真命题的序号是________. 

【解析】①若有几个方向相同,模相等的向量,则无极大向量,故不正确;②由题意得a,b,c围成闭合三角形,则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模,故正确;③3个向量都是极大向量,等价于3个向量之和为0,故W1={a1,a2,a3},W2={b1,b2,b3}中的每个元素都是极大向量时,W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量,故正确.

答案:②③

(20分钟　40分)

一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)

1.在同一平面上,把平行于某一直线的一切向量的起点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是              (　　)

A.一条线段     B.一条直线

C.圆上一群孤立的点  D.一个半径为1的圆

【解析】选B.由于向量的起点确定,而向量平行于同一直线,所以随着向量模长的变化,向量的终点构成的是一条直线.

2.已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点,则的值为 (　　)

A.　　　B.　　　C.1　　　D.2

【解析】选C.因为四边形ABPC是平行四边形,D为对角线BC与AP的交点,所以D为PA的中点,所以的值为1.

【补偿训练】

如果在一个边长为5的正△ABC中,一个向量所对应的有向线段为(其中D在边BC上运动),则向量长度的最小值为________. 

【解析】根据题意,在正△ABC中,有向线段AD长度最小时,AD应与边BC垂直,有向线段AD长度的最小值为正△ABC的高,为.

答案:

3.如图在等腰梯形ABCD中.

①与是共线向量.

②=.

③>.以上结论中正确的个数是 (　　)

A.0　　　B.1　　　C.2　　　D.3

【解析】选A.①因为与的方向不相同,也不相反,所以与不共线,即①不正确;②由①可知不正确;③因为两个向量不能比较大小,所以③不正确.

【误区警示】本题易错之处在于③的判断,忽视向量是不能够进行大小比较的.

4.(多选题)下列说法不正确的是 (　　)

A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小

B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的可以比较大小

C.向量的大小与方向有关

D.向量的模可以比较大小

【解析】选ABC.向量之间不能比较大小,但向量的模可以比较大小,向量的大小与方向无关.故只有选项D说法正确.

【补偿训练】

(多选题)如图,在菱形ABCD中,∠DAB=120°,则以下说法正确的是 (　　)

A.与相等的向量只有一个(不含)

B.与的模相等的向量有4个(不含)

C.的模为模的倍

D.与不共线

【解析】选AC.A项,由相等向量的定义知,与相等的向量只有,故A正确;B项,因为AB=BC=CD=DA=AC,所以与的模相等的向量除外有9个,故B错误;C项,在Rt△ADO中,∠DAO=60°,则DO=DA,所以BD=DA,故C项正确;D项,因为四边形ABCD是菱形,所以与共线,故D项错误.

【光速解题】选AC.从容易判断的选项入手,如D选项显然错误,其次A选项正确,再次B选项中的向量始点和终点互换后为不同的向量,故错误,根据多选题的特点易得AC正确.

二、填空题(每小题5分,共10分)

5.若向量a与任意向量b都平行,则a=________;若|a|=1,则向量a是________. 

【解析】由于只有零向量与任意向量平行,故a=0;由于=1,即向量a的长度为1,所以向量a是单位向量.

答案:0　单位向量

【补偿训练】

给出下列四个条件:

①a=b;

②|a|=|b|;

③a与b方向相反;

④|a|=0或|b|=0.

其中能使a∥b成立的条件是________(填序号). 

【解析】若a=b,则a与b大小相等且方向相同,所以a∥b;若|a|=|b|,则a与b的大小相等,而方向不确定,因此不一定有a∥b;方向相同或相反的向量都是平行向量,因此若a与b方向相反,则有a∥b;零向量与任意向量平行,所以若|a|=0或|b|=0,则a∥b.

答案:①③④

6.(2020·福州高一检测)有下列说法:

①若a≠b,则a一定不与b共线;

②若=,则A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点;

③在▱ABCD中,一定有=;

④共线向量是在一条直线上的向量.

其中,正确的说法是________. 

【解析】①,两个向量不相等,可能是长度不相等,方向相同或相反,所以a与b有共线的可能,故①不正确;

②,A,B,C,D四点可能在同一条直线上,故②不正确;

③,在平行四边形ABCD中,||=||,与平行且方向相同,所以=,故③正确;

④,共线向量可以是在一条直线上的向量,也可以是所在直线互相平行的向量,故④不正确.

答案:③

三、解答题

7.(10分)设在平面内给定一个四边形ABCD,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,求证:=.

【证明】如图所示,

连接AC.在△ABC中,

由三角形中位线定理知,EF=AC,EF∥AC,

同理HG=AC,HG∥AC.

所以||=||且和同向,

所以=.

【补偿训练】

如图是中国象棋的半个棋盘,“马走日”是象棋中马的走法.此图中,马可以从A处跳到A1处,用向量表示马走了“一步”,也可以跳到A2处,用向量表示.请在图中画出马在B,C处走了“一步”的所有情况.

【解析】如图,马在B处只有3步可走,马在C处有8步可走,人们常说的马有“八面威风”就是指马在中心处威力最大.