数学6.1.5 向量的线性运算同步测试题

向量的线性运算

(15分钟　30分)

1.已知a=4d,b=5d,c=-3d,则2a-3b+c等于 (　　)

A.10d  B.-10d  C.20d   D.-20d

【解析】选B.2a-3b+c=2×4d-3×5d-3d

=8d-15d-3d

=-10d.

【补偿训练】

化简下列各式

(1)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a;

(2)-

【解析】(1)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.

(2)原式=a-b-a-b=-2b.

2.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是 (　　)

A.A,B,D　　　　　B.A,B,C

C.B,C,D  D.A,C,D

【解析】选A.=+=(-5a+6b)+(7a-2b)=2a+4b=2,所以,共线,且有公共点B,所以A,B,D三点共线.

3.已知e 是单位向量,a=2e,b=-3e ,则=________. 

【解析】由题意得a-2b=8e ,

故=8.

答案:8

4.(2020·长沙高一检测)如图正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点,则=________(用向量,表示). 

【解析】=+

=+

=-.

答案:-

5.如图,以向量=a,=b为边作▱OADB,=,=,用a,b表示,,.

【解析】因为=-=a-b,

==a-b,

所以=+=a+b,

又因为=a+b,

=+=+

=

=(a+b)=a+b,

所以=-

=a+b-a-b

=a-b,

即有=a+b,=a+b,

=a-b.

(30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分,共20分)

1.(2020·杭州高一检测)下面四种说法:

①对于实数m和向量a,b,恒有m=ma-mb;

②对于实数m,n和向量a,恒有a=ma-na;

③对于实数m和向量a,b,若ma=mb,则a=b;

④对于实数m,n和向量a,若ma=na,则m=n.

其中正确说法的个数是 (　　)

A.4 B.3 C.2 D.1

【解析】选C.由数乘向量运算律,得①②均正确.对于③,若m=0,由ma=mb,未必一定有a=b,错误.对于④,若a=0,由ma=na,未必一定有m=n,错误.

2.已知平行四边形ABCD中,=a,=b,其对角线交点为O,则等于(　　)

A.a+b　　　　　　　B.a+b

C.(a+b)     D.a+b

【解析】选C.+=+==2,所以=(a+b).

3.已知四边形ABCD是菱形,点P在对角线AC上(不包括端点A,C),则=(　　)

A.λ(+),λ∈(0,1)

B.λ(+),λ∈(0,)

C.λ(-),λ∈(0,1)

D.λ(-),λ∈(0,)

【解析】选A.设P是对角线AC上的一点(不含A,C),过点P分别作BC,AB的平行线,设=λ,则λ∈(0,1),于是=λ(+),λ∈(0,1).

4.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P,满足++=,则点P与△ABC的关系为 (　　)

A.P在△ABC内部　

B.P在△ABC外部

C.P在AB边所在直线上

D.P是AC边的三等分点

【解析】选D.因为=-,

所以++=-,

即2+=0,

即=2,

故=,

所以点P是AC边的一个三等分点.

二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)

5.如图所示,向量,,的终点A,B,C在一条直线上,且=-3.设=p,=q,=r,则以下等式中不成立的是              (　　)

A.r=-p+q　　　　B.r=-p+2q

C.r=p-q    D.r=-q+2p

【解析】选BCD.因为=+,=-3=3,所以=,所以=+=+(-).

所以r=q+(r-p).所以r=-p+q.

6.若点D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,则下列结论正确的是 (　　)

A.=-a-b   B.=a+b

C.=-a+b   D.=a

【解析】选ABC.如图

在△ABC中=+=-+=-b-a,故A正确;=+=a+b,故B正确;

=+=-b-a,=+=b+×(-b-a)=-a+b,故C正确;

==-a,故D不正确.

三、填空题(每小题5分,共10分)

7.(1)化简:=

________. 

(2)已知向量为a,b,未知向量为x,y,向量a,b,x,y满足关系式3x-2y=a,-4x+3y=b,则向量x=________,y=________.(用向量a,b表示) 

【解析】(1)原式=

=

==a-b.

(2)由①×3+②×2得,x=3a+2b,代入①得3×(3a+2b)-2y=a,即y=4a+3b,所以x=3a+2b,y=4a+3b.

答案:(1)a-b　(2)3a+2b　4a+3b

8.(2020·潍坊高一检测)在平面向量中有如下定理:设点O,P,Q,R为同一平面内的点,则P,Q,R三点共线的充要条件是:存在实数t,使=+t.试利用该定理解答下列问题:如图,在△ABC中,点E为AB边的中点,点F在AC边上,且CF=2FA,BF交CE于点M,设=x+y,则x+y=________. 

【解析】因为点B,M,F三点共线,则存在实数t,使=(1-t)+t.

又=2,=,则=2(1-t)+.因为点C,M,E三点共线,则2(1-t)+=1,所以t=.故x=,y=,x+y=.

答案:

【补偿训练】

若=t(t∈R),O为平面上任意一点,则=________.(用,表示) 

【解析】=t,-=t(-),

=+t-t=(1-t)+t.

答案:(1-t)+t

四、解答题(每小题10分,共20分)

9.如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=AD,=a,=b.

(1)用a,b分别表示向量,;

(2)求证:B,E,F三点共线.

【解析】(1)因为=(+)=(a+b),所以==(a+b),

因为==b,

所以=-=-a+b.

(2)由(1)知=-a+b,

=+=+

=+

=-a+b=,

所以=.所以与共线.

又,有公共点B,所以B,E,F三点共线.

10.如图,点O是梯形ABCD对角线的交点,|AD|=4,|BC|=6,|AB|=2.设与同向的单位向量为a0,与同向的单位向量为b0.

(1)用a0和b0表示,和;

(2)若点P在梯形ABCD所在平面上运动,且||=2,求||的最大值和最小值.

【解析】(1)由题意知=6a0,=2b0,

所以=-=6a0-2b0;

因为∥,所以=4a0,

则=+=2b0-6a0+4a0=2b0-2a0;

因为AD∥BC,所以OA∶OC=AD∶BC=2∶3,

则=-=-(6a0-2b0)=-a0+b0.

(2)由题意知点P是在以点C为圆心,2为半径的圆周上运动,所以由几何意义即得||的最大值和最小值分别应该为8和4.

O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=

+λ,λ∈(0,+∞),则P点的轨迹所在直线一定通过△ABC的(　　)

A.外心　　 B.内心 C.重心　　 D.垂心

【解析】选C.设BC中点为点M,

则=,则有=+λ,即=λ,所以P点的轨迹所在直线一定通过△ABC的重心.

【补偿训练】

O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+

λ,λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的 (　　)

A.外心　　  B.内心

C.重心　　  D.垂心

【解析】选B.如图,为上的单位向量,为上的单位向量,

则+的方向为∠BAC的平分线的方向.又λ∈[0,+∞),

所以λ的方向与+的方向相同.

=+λ,

所以点P在上移动.所以P的轨迹一定通过△ABC的内心.