必修 第二册6.1.4 数乘向量教课ppt课件

这是一份必修 第二册6.1.4 数乘向量教课ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了数乘向量，向量的线性运算，随堂演练，课时对点练等内容，欢迎下载使用。

1.理解向量的数乘运算及其几何意义.
2.会利用向量共线判断三点共线及线线平行.
一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a，那么它向东运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？这就是我们今天要学到的数乘运算.
问题1　如图，已知非零向量a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a).类比数的乘法，该如何表示运算结果？它们的长度和方向分别是怎样的？
显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，－3a的方向与a的方向相反，－3a的长度是a的长度的3倍.
1.定义：一般地，给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是 ，记作λa，其中，(1)当λ≠0且a≠0时，λa的模为_____.而且λa的方向如下：①当λ>0时，与a的方向 ；②当λ<0时，与a的方向 .(2)当λ＝0或a＝0时，λa＝__.2.数乘向量的几何意义：把向量沿着它的方向或反方向 .3.当λ和μ都是实数，且a是向量时：μa是向量，λ(μa)也是向量；λμ是实数，但(λμ)a是向量，可以看出λ(μa)＝(λμ)a.
(1)数乘向量仍是向量.(2)实数λ与向量不能相加.
　　(1)已知λ∈R，则下列结论正确的是A.|λa|＝λ|a| B.|λa|＝|λ|aC.|λa|＝|λ|·|a| D.|λa|>0
当λ<0时，|λa|＝λ|a|不成立，A错误；|λa|是一个非负实数，而|λ|a是一个向量，B错误；当λ＝0或a＝0时，|λa|＝0，D错误.
(2)(多选)已知a，b是两个非零向量，则下列说法中正确的是A.－2a与a是共线向量，且－2a的模是a的模的两倍B.3a与5a的方向相同，且3a的模是5a的模的C.－2a与2a是一对相反向量D.a－b与－(b－a)是一对相反向量
A中，∵－2<0，∴－2a与a方向相反，两向量共线.又|－2a|＝2|a|，∴A正确.B中，∵3>0，∴3a与a方向相同，且|3a|＝3|a|；∵5>0，∴5a与a方向相同，且|5a|＝5|a|.∴3a与5a方向相同，且3a的模是5a的模的 .∴B正确.C中，按照相反向量的定义可以判断正确.D中，∵－(b－a)＝－b＋a＝a－b，∴a－b与－(b－a)为相等的向量.∴D不正确.
对于数乘运算，要认识到任意实数λ与任意向量a的乘积λa仍是向量，要明确两向量的关系，应从两方面入手，一是方向，二是大小.
　　　(1)已知m∈R，则下列说法正确的是A.若ma＝0，则必有a＝0B.若m≠0，a≠0，则ma与a方向相同C.m≠0，a≠0，则|ma|＝m|a|D.若m≠0，a≠0，则ma与a共线
当m＝0，a≠0时，ma＝0，故A错，m≠0，a≠0时，ma与a的方向相同或相反，|ma|＝|m|·|a|，故BC错，只有D正确.
1.一般地，对于实数λ与μ，以及向量a，b，有①λa＋μa＝(λ＋μ)a；②λ(a＋b)＝λa＋λb.2.向量的线性运算向量的 、 、 以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算.
原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.
(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.
原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.
向量线性运算的基本方法(1)类比法：向量的线性运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中同样适用.(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解.
向量平行、三点共线问题
问题2　如果存在一个实数λ使b＝λa，那么向量a，b是否平行？
1.向量平行：如果存在实数λ，使得b＝λa，则b∥a.
(1)证明向量(所在直线)平行，用b＝λa.(2)证明三点共线，除证明两向量平行外还需要说明两向量有公共点.
　　设a，b是不共线的两个向量.
∴A，B，C三点共线.
A.A，B，D B.A，B，CC.B，C，D D.A，C，D
A.P，A，C三点共线 B.P，A，B三点共线C.P，B，C三点共线 D.以上均不正确
1.知识清单： (1)数乘向量的定义及几何意义. (2)数乘向量的运算律. (3)向量的线性运算. (4)向量平行、三点共线.2.方法归纳：数形结合法、分类讨论法、转化法.3.常见误区： (1)忽视零向量这一个特殊向量. (2)数乘向量的方向错误导致解题失误.
A.2a－b B.2b－a C.b－a D.a－b
2.对于向量a，b有下列表示：①a＝2e，b＝－2e；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；③a＝4e1－ ，b＝e1－ ；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.其中，向量a，b一定共线的是A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
对于①，b＝－a，有a∥b；对于②，b＝－2a，有a∥b；对于③，a＝4b，有a∥b；对于④，a与b不共线.
又因为O是AC的中点，所以AC＝2AO，
设点E为平行四边形ABCD的边BC的中点，点F为AB边的中点(图略)，
A.λ＋μ＝2 B.λμ＝1C.λμ＝－1 D.λ－μ＝1
即A，B，C三点共线的充要条件为λμ＝1.
A.垂心 　　　　B.内心 　　　　C.外心 　　　　D.重心
A.平行四边形 B.菱形C.等腰梯形 D.不等腰的梯形
故四边形ABCD是等腰梯形.
如图，取AB的中点E，连接DE，则四边形DEBC为平行四边形.
方法一　如图所示，在▱ABCD中，AC交BD于O点，则O平分AC和BD.
∴N为OC的中点，又M为BC的中点，
11.(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列条件中，一定能使a，b共线的是A.2a－3b＝4e，且a＋2b＝－3eB.存在相异实数λ，μ，使λa＋μb＝0C.xa＋yb＝0(实数x，y满足x＋y＝0)D.已知在梯形ABCD中，
对于A，由已知条件得，10a－b＝0，故满足条件；对于B，显然满足条件；对于C，当x＝y＝0时，a，b不一定共线；对于D，若AB∥CD，则a，b共线，若AD∥BC，则a，b不共线.
12.(多选)已知m，n是实数，a，b是向量，则下列说法中正确的是A.m(a－b)＝ma－mbB.(m－n)a＝ma－naC.若ma＝mb，则a＝bD.若ma＝na，则m＝n
A和B属于数乘对向量与实数的分配律，正确；C中，若m＝0，则不能推出a＝b，错误；D中，若a＝0，则m，n没有关系，错误.
A.△ABC的内部B.边AC所在的直线上C.边AB所在的直线上D.边BC所在的直线上
∴点P一定在边AC所在的直线上.
不妨设PQ∥AB，因为G为△OAB的重心，
16.如图所示，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到点M使DM＝CD，延长BE至点N使BE＝EN，求证：M，A，N三点共线.
因为D为MC的中点，且D为AB的中点，
所以M，A，N三点共线.