人教B版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量线性运算的应用练习

平面向量线性运算的应用

(15分钟　35分)

1.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4),B(5,2),C(-1,-4),则该三角形为(　　)

A.锐角三角形   B.直角三角形

C.钝角三角形   D.等腰直角三角形

【解析】选B.=(2,-2),=(-4,-8),=(-6,-6),

所以||==2,

||==4,

||==6,

所以||2+||2=||2,

所以△ABC为直角三角形.

【补偿训练】

在四边形ABCD中, =2a-3b, =-8a+b,=-10a+4b,且a,b不共线,试判断四边形ABCD的形状.

【解析】因为=2a-3b,=-8a+b, =-10a+4b,所以=++

=-16a+2b,所以=2,所以AD∥BC, AD=2BC且AB不平行于CD,所以四边形ABCD是梯形.

2.已知两个力F1,F2的夹角为90°,它们的合力大小为10 N,合力与F1的夹角为60°,那么F2的大小为              (　　)

A.5 N   B.5 N   C.10 N  D.5 N

【解析】选A.由题意可知:对应向量如图,由于α=60°,

所以F2的大小为|F合|·sin 60°=10×=5(N).

3.在△ABC中,D为BC边的中点,已知=a,=b,则下列向量中与同方向的是 (　　)

A.   B.+

C.   D.-

【解析】选A.因为D为BC边的中点,则有+=2,所以a+b与共线,又因为与a+b共线,所以选项A正确.

4.河水从东向西流,流速为2 km/h,一艘船以2 km/h垂直于水流方向向北横渡,则船实际航行的速度的大小是________km/h. 

【解析】由题意,如图,表示水流速度,表示船在静水中的速度,则表示船的实际速度,

则=2,=2,∠AOB=90°,

所以=4.

答案:4

5.若=3e,=5e,且||=||,则四边形ABCD的形状为________. 

【解析】由=3e,=5e,得∥,||≠||,又因为ABCD为四边形,所以AB∥DC,AB≠DC.又||=||,得AD=BC,所以四边形ABCD为等腰梯形.

答案:等腰梯形

6.已知A,B,C三点的坐标为(-1,0),(3,-1),(1,2),并且=,=,求证:∥.

【证明】设E,F的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),

依题意有=(2,2),=(-2,3),

=(4,-1).

因为=,所以(x1+1,y1)=(2,2).

所以点E的坐标为.

同理得点F的坐标为,=.

又×(-1)-4×=0,所以∥.

(30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分,共20分)

1.两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力的大小为20 N,则当它们的夹角为120°时,合力的大小为              (　　)

A.40 N   B.10 N

C.20 N   D. N

【解析】选B.对于两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°,合力的大小为20 N时,由三角形法则可知,这两个力的大小都是10 N;当它们的夹角为120°时,由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形,因此合力的大小为10 N.

2.已知△ABC满足-=k (其中k是非零常数),则△ABC的形状一定是(　　)

A.正三角形   B.钝角三角形

C.等腰三角形  D.直角三角形

【解析】选C.△ABC中,-=k(其中k是非零常数)如图所示,

所以-=k×(-),

所以+k=k+,

所以=,

又,不共线,

所以+k=k+=0,

所以||=||,

所以△ABC是等腰三角形.

3.(2020·潍坊高一检测)在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E为DC边上的中点,P为线段AE上的动点,设向量=λ+μ,则λ+μ的最大值为              (　　)

A.0  B.1  C.2  D.3

【解析】选C.以A为原点,AB,AD所在直线为x,y轴,建立平面直角坐标系,

则B,D,E,

设P,0≤x≤1,

所以=,=,=,

因为=λ+μ,

所以=,

所以

所以

所以λ+μ=2x,即0≤λ+μ≤2.

4.如图所示,设P为△ABC所在平面内的一点,并且=+,则△BPC与△ABC的面积之比等于 (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选D.延长AP交BC于点D,

因为A,P,D三点共线,

所以=m+n(m+n=1),设=k, 代入可得=m+nk,

即-=-m+nk(-)⇒

=(1-m-nk)+nk ,又因为=+,即nk=,1-m-nk=,且m+n=1 ,解得m=,n=,

所以=+,可得=4 ,

因为△BPC与△ABC有相同的底边,

所以面积之比就等于与之比,

所以△BPC与△ABC的面积之比为.

【误区警示】本题易错之处在于不能借助两三角形有公共边而将面积之比转化为边长之比.

二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)

5.△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论正确的是 (　　)

A.|b|=1   B.|a|=1

C.a∥b   D.(4a+b)⊥

【解析】选BD.如图,

由题意,=-=(2a+b)-2a=b,则|b|=2,故A错误;|2a|=2|a|=2,所以|a|=1,故B正确;因为=2a,=b,故a,b不平行,故C错误;设B,C中点为D,则+=2,且⊥,而2=2a+(2a+b)=4a+b,所以(4a+b)⊥,故D正确.

6.在△ABC中,点P满足=3,过点P的直线与AB,AC所在的直线分别交于点M,N,若=λ,=μ,则λ+μ的可能取值为              (　　)

A.+1   B.+1

C.     D.

【解析】选BD.如图所示:

因为=3,即-=3,

所以=+,

因为=λ,=μ,

所以=,=,

所以=+,

因为M,P,N三点共线,则+=1.

所以λ+μ==++1≥

2+1=+1当且仅当μ=λ=时,等号成立,因此,λ+μ的最小值为+1.

三、填空题(每小题5分,共10分)

7.设O是△ABC内部一点,且+=-2,则△AOB与△AOC的面积之比为________. 

【解析】设D为AC的中点,

如图所示,连接OD,

则+=2.又+=-2,

所以=-,即O为BD的中点,

从而容易得△AOB与△AOC的面积之比为1∶2.

答案:1∶2

【光速解题】将此三角形看作一个等边三角形,得到O为BD的中点后答案非常清楚.

【补偿训练】

在△ABC所在平面上有一点P,满足++=,则△PAB与△ABC的面积的比值是________. 

【解析】由题意可得=2,

所以P是线段AC的三等分点(靠近点A),

易知S△PAB=S△ABC,

即S△PAB∶S△ABC=1∶3.

答案:1∶3

8.如图,在长方形ABCD中,M,N分别为线段BC,CD的中点,若=λ1+λ2,λ1,λ2∈R,则λ1+λ2的值为________. 

【解析】设AB=a,AD=b(a≠0,b≠0),以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立如图所示坐标系,

则A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(0,b),M,N,

则=,=,=,

即=λ1+λ2,

则即

解得λ1=-,λ2=,则λ1+λ2=.

答案:

四、解答题(每小题10分,共20分)

9.如图,已知河水自西向东流速为=1 m/s,设某人在静水中游泳的速度为v1,在流水中实际速度为v2.

(1)若此人朝正南方向游去,且= m/s,求他实际前进方向与水流方向的夹角α和v2的大小.

(2)若此人实际前进方向与水流垂直,且= m/s,求他游泳的方向与水流方向的夹角β和v1的大小.

【解析】如图,设=v0,=v1,=v2,

则由题意知v2=v0+v1,=1,

根据向量加法的平行四边形法则得四边形OACB为平行四边形.

(1)由此人朝正南方向游去得四边形OACB为矩形,且=AC=,如图所示,

则在直角△OAC中=OC==2,

tan∠AOC==,

又α=∠AOC∈,

所以α=60°.

答:他实际前进方向与水流方向的夹角α为60°,v2的大小为2 m/s.

(2)由题意知α=∠OCB=90°,且==,BC=1,如图所示,

则在直角△OBC中,=OB==2,

tan∠BOC==,又∠BOC∈,所以∠BOC=30°,则β=90°+30°=120°.

答:他游泳的方向与水流方向的夹角β为120°,v1的大小为2 m/s.

10.如图,点O是平行四边形ABCD的中心,E,F分别在边CD,AB上,且==.

求证:点E,O,F在同一直线上.

【证明】设=m,=n,

由==知E,F分别是CD,AB的三等分点,

所以=+=+

=-m+(m+n)=m+n,

=+=+

=(m+n)-m=m+n.

所以=.

又O为和的公共点,故点E,O,F在同一直线上.

等边△ABC的边长为4,点P是△ABC内(包括边界)的一动点,且=+λ

(λ∈R),则的最大值为 (　　)

A.3  B.  C.2  D.

【解析】选B.以A为原点,以AB所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.

因为△ABC是边长为4的等边三角形,

所以A(0,0),B(4,0),C(2,2).

设点P的坐标为(x,y),

则0≤x≤4,0≤y≤2.

因为=+λ,

所以(x,y)=(4,0)+λ(2,2)

=,

所以消去λ可得y=(x-3)①,

所以点P在直线y=(x-3)上.又由条件得直线BC的方程为:y=-(x-4)②,

由①②解得

此时最大,且最大值为||==.

【补偿训练】

1.在△ABC中,已知AB=AC=5,BC=6,M是AC边上靠近A点的一个三等分点,试问:在线段BM(端点除外)上是否存在点P使得PC⊥BM?

【解析】以B为原点,BC边所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.由于AB=AC=5,BC=6,所以B(0,0),A(3, 4),C(6,0).则=(3,-4),

由于M点是AC边上靠近A点的一个三等分点.

所以==,

于是M,所以=,假设在BM上存在点P使得PC⊥BM,

则设=λ,且0<λ<1,

即=λ=,所以=+=(-6,0)+=.

由于PC⊥BM,所以λ×+(4λ-6)×4=0,

λ=∉(0,1),所以线段BM上不存在点P使得PC⊥BM.

2.(2020·上海市七宝中学高一检测)在平面上,⊥,||=||=1,

=+,若||<,则的取值范围是________. 

【解析】因为⊥,=+,

则AB1PB2为矩形,以A为原点,AB1所在直线为x轴,AB2所在直线为y轴建立平面直角坐标系.

如图所示:

设=m,=n,O,

则A,B1,B2,P,

因为||=||=1,

所以

变形可得

因为||<,即+<,

所以1-x2+1-y2<,即x2+y2>.

因为≥0,≥0,即1-y2≥0,1-x2≥0,所以y2≤1,x2≤1,

则x2+y2≤2,综上可知<x2+y2≤2.

因为||=,

所以<≤,即∈.

答案: