人教B版 (2019)必修 第二册6.1.4 数乘向量教案设计

课题

数乘向量

课时安排

1

教学目标

1．掌握实数与向量的积的定义；

2．掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算；

3．理解两向量共线（平行）的充要条件，并会判断两个向量是否共线。

教学重难点

1．实数与向量的积的定义及其运算律，向量共线的充要条件；

2．向量共线的充要条件及其应用。

教学过程

（一）复习：

已知非零向量，求作和。

如图：，。

（二）新课讲解：

1．实数与向量的积的定义：

一般地，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：

（1）；

（2）当时，的方向与的方向相同；

当时，的方向与的方向相反；

当 时，。

2．实数与向量的积的运算律：

（1）（结合律）；

（2）（第一分配律）；

（3）（第二分配律）。

例1  计算：（1）；  （2）；  （3）。

解：（1）原式=；  （2）原式=；  （3）原式=。

3．向量共线的充要条件：

定理：（向量共线的充要条件）向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得。

例2 如图，已知，。试判断与是否共线。

解：∵

∴与共线。

例3 判断下列各题中的向量是否共线：

（1），；

（2），，且，共线。

解：（1）当时，则，显然与共线。

当时， ，∴与共线。

（3）当，中至少有一个为零向量时，显然与共线。

当，均不为零向量时，设

∴，

若时，，，显然与共线。

若时，，

∴与共线。

例4 设是两个不共线的向量，已知，，，

若，，三点共线，求的值。

解：

∵，，三点共线，∴与共线，即存在实数，使得，

即是。

由向量相等的条件，得  ，∴。

作业布置

1．设是两个不共线的向量，而和共线，求实数的值；

2．设二个非零向量不共线，如果，，，求证，，三点共线。