人教B版 (2019)必修 第二册6.1.4 数乘向量学案设计

这是一份人教B版 (2019)必修 第二册6.1.4 数乘向量学案设计，共11页。学案主要包含了数乘向量的概念，向量的线性运算，三点共线问题等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.理解向量的数乘运算及其几何意义.2.会利用向量共线判断三点共线及线线平行．
知识点一 数乘向量
1．定义：一般地，给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是一个向量，记作λa，当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λa|＝|λ||a|.若a≠0，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反．当λ＝0或a＝0时，λa＝0.
2．数乘向量的几何意义：把向量a沿着它的方向或反方向放大或缩小．
3．数乘向量的运算律
设λ，μ为实数，则
(1)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(2)λ(μa)＝(λμ)a；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
4．向量的线性运算
向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算．
知识点二 向量共线
一般地，如果存在实数λ，使得eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))，则eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))平行且有公共点A，从而A，B，C三点一定共线．
1．实数λ与向量a的积还是向量．( √ )
2．若a≠0，λ≠0，则a与－λa的方向相反．( × )
3．若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ使b＝λa.( × )
4．若λa＝0，则a＝0.( × )
一、数乘向量的概念
例1 (多选)已知a，b是两个非零向量，则下列说法中正确的是( )
A．－2a与a是共线向量，且－2a的模是a的模的两倍
B．3a与5a的方向相同，且3a的模是5a的模的eq \f(3,5)
C．－2a与2a是一对相反向量
D．a－b与－(b－a)是一对相反向量
答案 ABC
解析 A中，∵－2<0，
∴－2a与a方向相反，两向量共线．
又|－2a|＝2|a|，∴A正确．
B中，∵3>0，∴3a与a方向相同，且|3a|＝3|a|；
∵5>0，∴5a与a方向相同，且|5a|＝5|a|.
∴3a与5a方向相同，且3a的模是5a的模的eq \f(3,5).
∴B正确．
C中，按照相反向量的定义可以判断正确．
D中，∵－(b－a)＝－b＋a＝a－b，
∴a－b与－(b－a)为相等向量．
∴D不正确．
反思感悟 对于数乘运算，要认识到任意实数λ与任意向量a的乘积λa仍是向量，要明确两向量的关系，应从两方面入手，一是方向，二是大小．
跟踪训练1 已知m∈R，则下列说法正确的是________．(填序号)
①若ma＝0，则必有a＝0；
②若m≠0，a≠0，则ma与a方向相同；
③m≠0，a≠0，则|ma|＝m|a|；
④若m≠0，a≠0，则ma与a共线．
答案 ④
解析 当m＝0，a≠0时，ma＝0，故①错，m≠0，a≠0时，ma与a的方向相同或相反，|ma|＝|m|·|a|，故②③错，只有④正确．
二、向量的线性运算
例2 计算：(1)3(6a＋b)－9eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,3)b))；
(2)eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3a＋2b－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)b))))－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a＋\f(3,8)b))；
(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.
解 (1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.
(2)原式＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a＋\f(3,2)b))－a－eq \f(3,4)b＝a＋eq \f(3,4)b－a－eq \f(3,4)b＝0.
(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.
反思感悟 (1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
(2)对于线性运算，把握运算顺序为：运算律去括号→数乘向量→向量加减．
跟踪训练2 若已知向量a，b满足eq \f(1,3)(3a－2c)＋4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)c－b))＋(a＋6b)＝0，则c＝________.
答案 －6a－6b
解析 因为eq \f(1,3)(3a－2c)＋4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)c－b))＋(a＋6b)
＝a－eq \f(2,3)c＋c－4b＋a＋6b
＝2a＋2b＋eq \f(1,3)c＝0，
所以eq \f(1,3)c＝－2a－2b，c＝－6a－6b.
三、三点共线问题
例3 已知非零向量e1，e2不共线．
(1)若a＝eq \f(1,2)e1－eq \f(1,3)e2，b＝3e1－2e2，判断向量a，b是否共线；
(2)若eq \(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq \(BC,\s\up6(→))＝2e1＋8e2，eq \(CD,\s\up6(→))＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线．
(1)解 ∵b＝3e1－2e2＝6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)e1－\f(1,3)e2))＝6a，
∴a与b共线．
(2)证明 ∵eq \(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，
eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝2e1＋8e2＋3e1－3e2
＝5(e1＋e2)＝5eq \(AB,\s\up6(→))，
∴eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))共线，且有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
反思感悟 利用向量共线可以解决点共线问题，如要证A，B，C三点共线，只需证eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))或eq \(AB,\s\up6(→))＝keq \(BC,\s\up6(→))(λ，k∈R)等．
跟踪训练3 已知非零向量e1，e2不共线，如果eq \(AB,\s\up6(→))＝e1＋2e2，eq \(BC,\s\up6(→))＝－5e1＋6e2，eq \(CD,\s\up6(→))＝7e1－2e2，则共线的三个点是________．
答案 A，B，D
解析 ∵eq \(AB,\s\up6(→))＝e1＋2e2，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))
＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2(e1＋2e2)＝2eq \(AB,\s\up6(→))，
∴eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))共线，且有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
向量线性运算在平面几何中的应用
典例 已知任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．求证：eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))．
证明 如图．
∵E为AD的中点，
∴eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→)).
∵F是BC的中点，
∴eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))．
又∵eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))，
∴eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→)).
∴eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝
eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))．
[素养提升] (1)由已知向量表示未知向量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性运算的运算律，还应重视平面几何定理的应用．
(2)通过向量之间关系的运算与证明，体现数学运算与逻辑推理素养．
1．化简：eq \f(1,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)2a＋8b－4a－2b))的结果是( )
A．2a－b B．2b－a C．b－a D．a－b
答案 B
解析 原式＝eq \f(1,3)(a＋4b－4a＋2b)＝eq \f(1,3)(6b－3a)＝2b－a.
2．对于向量a，b有下列表示：
①a＝2e，b＝－2e；
②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
③a＝4e1－eq \f(2,5)e2，b＝e1－eq \f(1,10)e2；
④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.
其中，向量a，b一定共线的是( )
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
答案 A
解析 对于①，b＝－a，有a∥b；对于②，b＝－2a，有a∥b；对于③，a＝4b，有a∥b；对于④，a与b不共线．
3.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AO,\s\up6(→))，则λ＝________.
答案 2
解析 由向量加法的平行四边形法则知eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→)).
又因为O是AC的中点，所以AC＝2AO，
所以eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AO,\s\up6(→))，所以eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(AO,\s\up6(→))，
所以λ＝2.
4．O为平行四边形ABCD的中心，eq \(AB,\s\up6(→))＝4e1，eq \(BC,\s\up6(→))＝6e2，则3e2－2e1＝________.
答案 eq \(OD,\s\up6(→))(或eq \(BO,\s\up6(→)))
解析 设点E为平行四边形ABCD的边BC的中点，点F为AB边中点，则3e2－2e1＝eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(BO,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→)).
5.如图所示，已知eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up6(→))，则eq \(OP,\s\up6(→))＝________________.( 用eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))表示)
答案 －eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(4,3)eq \(OB,\s\up6(→))
解析 eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(4,3)(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＝－eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(4,3)eq \(OB,\s\up6(→)).
1．知识清单：
(1)数乘向量的定义及几何意义．
(2)数乘向量的运算律．
(3)向量的线性运算．
(4)向量共线的定义．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：λa与a同向或反向的条件．
1．化简：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3a＋\f(1,2)b＋c))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a＋\f(3,4)b－c))等于( )
A．a－eq \f(1,4)b＋2c B．5a－eq \f(1,4)b＋2c
C．a＋eq \f(5,4)b＋2c D．5a＋eq \f(5,4)b
答案 A
解析 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3a＋\f(1,2)b＋c))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a＋\f(3,4)b－c))＝(3a－2a)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)b－\f(3,4)b))＋(c＋c)＝a－eq \f(1,4)b＋2c.故选A.
2．如图，正方形ABCD中，E，F分别是DC，BC的中点，那么eq \(EF,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→)) B．－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))
C．－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→)) D.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))
答案 D
解析 因为E是CD的中点，所以eq \(EC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，F是BC的中点，所以eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))，所以eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(EC,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))，故选D.
3．已知向量a，b，且eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq \(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq \(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
答案 A
解析 eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2eq \(AB,\s\up6(→))，所以eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))共线，且有公共点B，所以A，B，D三点共线．
4．已知△ABC中，向量eq \(AP,\s\up6(→))＝λ(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))(λ∈R)，则点P的轨迹通过△ABC的( )
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
答案 D
解析 设D为BC中点，则eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AD,\s\up6(→))，∴eq \(AP,\s\up6(→))＝2λeq \(AD,\s\up6(→))，即P点在中线AD上，可知P点轨迹必过△ABC的重心，故选D.
5．若eq \(AB,\s\up6(→))＝3e1，eq \(CD,\s\up6(→))＝－5e1，且|eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．菱形
C．等腰梯形 D．不等腰的梯形
答案 C
解析 ∵eq \(AB,\s\up6(→))＝3e1，eq \(CD,\s\up6(→))＝－5e1，∴eq \(CD,\s\up6(→))＝－eq \f(5,3)eq \(AB,\s\up6(→))，∴eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))平行，且|eq \(CD,\s\up6(→))|＝eq \f(5,3)|eq \(AB,\s\up6(→))|，又|eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|，故四边形ABCD是等腰梯形．故选C.
6．已知点P在直线AB上，且eq \(AB,\s\up6(→))＝4eq \(AP,\s\up6(→))，设eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(PB,\s\up6(→))，则实数λ＝__________.
答案 eq \f(1,3)
解析 因为eq \(AB,\s\up6(→))＝4eq \(AP,\s\up6(→))，所以P是四等分点，
因此eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(PB,\s\up6(→)).
7．已知M是△ABC的BC边的中点，若向量eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，则向量eq \(AM,\s\up6(→))＝________.
答案 eq \f(1,2)(a＋b)
8．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若eq \(OA,\s\up6(→))－3eq \(OB,\s\up6(→))＋2eq \(OC,\s\up6(→))＝0，则eq \f(|\(AB,\s\up6(→))|,|\(BC,\s\up6(→))|)＝________.
答案 2
解析 因为eq \(OA,\s\up6(→))－3eq \(OB,\s\up6(→))＋2eq \(OC,\s\up6(→))＝0，
所以eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝2(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))，所以eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(BC,\s\up6(→))，
所以eq \f(|\(AB,\s\up6(→))|,|\(BC,\s\up6(→))|)＝2.
9.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是AD，BC的中点，设eq \(AD,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(MN,\s\up6(→)).
解 由已知得eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)b.
如图，取AB的中点E，连接DE，
则四边形DEBC为平行四边形．
∴eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(ED,\s\up6(→))＝eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝a－eq \f(1,2)b.
∵MN＝eq \f(1,2)(AB＋DC)，MN∥AB，
∴eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,2)b))＝eq \f(3,4)b.
10．在▱ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AN,\s\up6(→))＝3eq \(NC,\s\up6(→))，M为BC的中点，求eq \(MN,\s\up6(→)).(用a，b表示)
解 方法一 如图所示，在▱ABCD中，AC交BD于O点，
则O平分AC和BD.
∵eq \(AN,\s\up6(→))＝3eq \(NC,\s\up6(→))，∴eq \(NC,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))，
∴N为OC的中点，
又M为BC的中点，∴MN綊eq \f(1,2)BO，
∴eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BO,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)(b－a)．
方法二 eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AN,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)b－a＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))
＝－eq \f(1,2)b－a＋eq \f(3,4)(a＋b)＝eq \f(1,4)(b－a)．
11．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列条件中，一定能使a，b共线的是( )
A．2a－3b＝4e，且a＋2b＝－3e
B．存在相异实数λ，μ，使λa＋μb＝0
C．xa＋yb＝0(实数x，y满足x＋y＝0)
D．已知在梯形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(CD,\s\up6(→))＝b
答案 AB
解析 A．由已知条件得，10a－b＝0，故满足条件；B.显然满足条件；对于C，当x＋y＝0时，a，b不一定共线；D中，若AB∥CD，则a，b共线，若AD∥BC，则a，b不共线．
12．(多选)已知m，n是实数，a，b是向量，则下列说法中正确的是( )
A．m(a－b)＝ma－mb
B．(m－n)a＝ma－na
C．若ma＝mb，则a＝b
D．若ma＝na，则m＝n
答案 AB
解析 A和B属于数乘对向量与实数的分配律，正确；C中，若m＝0，则不能推出a＝b，错误；D中，若a＝0，则m，n没有关系，错误．
13．已知点P是△ABC所在平面内一点，若eq \(CB,\s\up6(→))＝λeq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))，其中λ∈R，则点P一定在( )
A．△ABC的内部 B．AC边所在的直线上
C．AB边所在的直线上 D．BC边所在的直线上
答案 B
解析 ∵eq \(CB,\s\up6(→))＝λeq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))，∴eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→))＝λeq \(PA,\s\up6(→))，
∴eq \(CP,\s\up6(→))＝λeq \(PA,\s\up6(→))，∴P，A，C三点共线，
∴点P一定在AC边所在的直线上．
14．过△OAB的重心G的直线与边OA，OB分别交于点P，Q，设eq \(OP,\s\up6(→))＝heq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OQ,\s\up6(→))＝keq \(OB,\s\up6(→))，则eq \f(1,h)＋eq \f(1,k)＝________.
答案 3
解析 连接OG并延长交边AB于点M，则M为AB边的中点，所以eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,h)\(OP,\s\up6(→))＋\f(1,k)\(OQ,\s\up6(→))))＝eq \f(1,2h)eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \f(1,2k)eq \(OQ,\s\up6(→))，又因为eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(OG,\s\up6(→))，所以eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3h)eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \f(1,3k)eq \(OQ,\s\up6(→)).因为P，Q，G三点共线，且eq \(OP,\s\up6(→))，eq \(OQ,\s\up6(→))是不共线的向量，所以eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OQ,\s\up6(→))，所以eq \f(1,3h)＝eq \f(1,2)，eq \f(1,3k)＝eq \f(1,2)，所以eq \f(1,3h)＋eq \f(1,3k)＝1，即eq \f(1,h)＋eq \f(1,k)＝3.
15．已知点M是△ABC所在平面内的一点，若满足6eq \(AM,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－2eq \(AC,\s\up6(→))＝0，且S△ABC＝λS△ABM，则实数λ的值是__________．
答案 3
解析 记2eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(AN,\s\up6(→)).
∵6eq \(AM,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－2eq \(AC,\s\up6(→))＝0，
∴eq \(AN,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(AN,\s\up6(→))－2eq \(AC,\s\up6(→))＝0，
∴eq \(BN,\s\up6(→))＝2eq \(NC,\s\up6(→))，∴S△ABC＝eq \f(3,2)S△ABN.
又∵S△ABM＝eq \f(1,2)S△ABN，
∴S△ABC＝3S△ABM，从而有λ＝3.
16.如图所示，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DM＝CD，延长BE至N使BE＝EN，求证：M，A，N三点共线．
证明 因为D为MC的中点，且D为AB的中点，
所以eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，所以eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→)).
同理可证明eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→)).所以eq \(AM,\s\up6(→))＝－eq \(AN,\s\up6(→)).
所以eq \(AM,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))共线且有公共点A，
所以M，A，N三点共线．