人教B版 (2019)必修 第二册6.2.1 向量基本定理复习练习题

向量基本定理

(15分钟　35分)

1.如图,在矩形ABCD中,若=5e1,=3e2,则= (　　)

A.(5e1+3e2)　　　　　B.(5e1-3e2)

C.(3e2-5e1)    D.(5e2-3e1)

【解析】选A.==(+)

=(+)=(5e1+3e2).

2.对于向量a,b有下列表示:

①a=2e,b=-2e;

②a=e1-e2,b=-2e1+2e2;

③a=4e1-e2,b=e1-e2;

④a=e1+e2,b=2e1-2e2.

其中,向量a,b一定共线的有 (　　)

A.①②③    B.②③④

C.①③④    D.①②③④

【解析】选A.对于①,a=-b;对于②,a=-b;对于③,a=4b;对于④,若a=λb(λ≠0),则e1+e2=λ(2e1-2e2),即(1-2λ)e1+(1+2λ)e2=0,所以1-2λ=1+2λ=0,矛盾,故④中a与b不共线.

3.已知非零向量,不共线,且2=x+y,若=λ (λ∈R),则x,y满足的关系是 (　　)

A.x+y-2=0　　　　 B.2x+y-1=0

C.x+2y-2=0   D.2x+y-2=0

【解析】选A.由=λ,得-=λ(-),即=(1+λ)-λ.又因为2=x+y,所以消去λ得x+y=2.

4.(2020·天水高一检测)已知a,b不共线,且c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),若c与b共线,则λ1=________. 

【解析】因为a,b不共线,所以a,b可以作为一组基底,又因为c与b共线,所以c=λ2b,所以λ1=0.

答案:0

5.已知两个不共线向量e1,e2,且=e1+λe2,=3e1+4e2,=2e1-7e2,若A,B,D三点共线,则λ的值为________. 

【解析】由=3e1+4e2,=2e1-7e2,

得=+=5e1-3e2,

又=e1+λe2,且A,B,D三点共线,

所以存在实数μ,使得=μ,

即e1+λe2=μ(5e1-3e2),又e1,e2不共线,

所以则λ=-.

答案:-

6.(2020·呼和浩特高一检测)如图所示,四边形ABCD是一个梯形,AB∥CD,且AB=2CD,M,N分别是DC,AB的中点,已知,=a,=b,试用a,b分别表示,, .

【解析】因为AB∥CD,且AB=2CD,

所以==a,因此=++ =-a+b+a=-a+b.

因为 M,N分别是DC,AB的中点,

所以=++ =-a-b+a=a-b,综上所述,=a,=-a+b,=a-b.

(30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分,共20分)

1.(2020·日照高一检测)如图,向量a-b等于 (　　)

A.-4e1-2e2　　　　　B.-2e1-4e2

C.e1-3e2     D.3e1-e2

【解析】选C.如图不妨令a=,b=,则a-b=-=,由平行四边形法则可知=e1-3e2.

2.(2020·兰州高一检测)设D为△ABC所在平面内一点,=-+,若=λ(λ∈R),则λ= (　　)

A.-3  B.3  C.-2  D.2

【解析】选A.若=λ(λ∈R),

所以-=λ-λ,化为=+,

又=-+,所以=-,=,解得λ=-3.

3.已知非零向量e1,e2不共线.欲使ke1+e2和e1+ke2共线,则实数k的值为(　　)

A.1  B.-1  C.1或-1  D.0

【解析】选C.因为ke1+e2与e1+ke2共线,

所以存在唯一实数λ,使ke1+e2=λ(e1+ke2),即(k-λ)e1=(λk-1)e2,由于e1与e2不共线,只能有所以k=±1.

【补偿训练】

设两个不共线的向量e1,e2,若向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,向量c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数λ,μ,使向量d=λa+μb与向量c共线?

【解析】因为d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(3μ-3λ)e2,要使d与c共线,则存在唯一实数k使d=k·c,

即:(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2.由

得λ=-2μ,故存在这样的实数λ和μ,

只要λ=-2μ,就能使向量d与c共线.

4.在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且=3,点O在线段CD上(与点C,D不重合),若=x+(1-x),则x的取值范围是              (　　)

A.　　　　　　B.

C.    D.

【解析】选D.依题意,设=λ,其中1<λ<,则有=+=+λ

=+λ=(1-λ)+λ.

又因为=x+(1-x),且,不共线,于是有x=1-λ∈,即x的取值范围是.

二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)

5.下列叙述正确的是 (　　)

A.若a,b共线,则存在唯一的实数λ,使a=λb

B.b=3a(a为非零向量),则a,b共线

C.若m=3a+4b,n=a+2b,则m∥n

D.若a+b+c=0,则a+b=-c

【解析】选BCD.判断非零向量a与b共线的方法是:存在实数λ,使a=λb.在A选项中,若a=b=0时不成立.所以A选项错误,B选项正确;在C选项中,m=2n,所以m∥n,所以C选项正确;D选项也正确.

6.

如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,N是线段OD的中点,AN的延长线与CD交于点E,则下列说法正确的是              (　　)

A.=+　　　  B.=-

C.=+   D.=+

【解析】选ABC.由向量减法的三角形法则知,=-,故B正确;由向量加法的平行四边形法则知,=+,==+,故A、C正确;D选项显然不正确.

三、填空题(每小题5分,共10分)

7.已知e1,e2不共线,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,要使a,b能作为平面内的一组基底,则实数λ的取值范围为________. 

【解析】若能作为平面内的一组基底,则a与b不共线.

a=e1+2e2,b=2e1+λe2,由a≠kb即得λ≠4.

答案:(-∞,4)∪(4,+∞)

8.

如图,在平面内有三个向量,,,||=||=1,与的夹角为120°,与的夹角为30°,||=5,设=m+n(m,n∈R),则m+n=________.

【解析】作以OC为一条对角线的平行四边形OPCQ,

则∠COQ=∠OCP=90°,在Rt△QOC中,2OQ=QC,||=5,

则||=5,||=10,

所以||=10,又||=||=1,

所以=10,=5,所以=+=10+5,所以m+n=10+5=15.

答案:15

【补偿训练】

如图,在△ABC中,D为BC的中点,G为AD的中点,过点G任作一直线MN分别交AB,AC于M,N两点,若=x,=y,试问:+是否为定值?

【解析】设=a,=b,

则=xa,=yb,

===.

所以=-=-xa

=a+b,=-

=yb-xa=-xa+yb.

因为与共线,且a,b不共线,

所以有=λ,即a+b

=λ(-x)a+λyb.

所以整理得:x+y=xy,即+=4,所以+为定值.

四、解答题(每小题10分,共20分)

9.如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN交于点P,求AP∶PM的值.

【解析】设=e1,=e2,

则=+=-3e2-e1,=+=2e1+e2.因为A,P,M和B,P,N分别共线,

所以存在实数λ,μ,使=λ=-λe1-3λe2,

=μ=2μe1+μe2,

所以=-=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.

又因为=+=2e1+3e2,

所以解得

所以=,即AP∶PM=4∶1.

10.

(2020·上饶高一检测)在△ABC中,=+.

(1)求△ABM与△ABC的面积之比;

(2)若N为AB中点,与交于点P,且=x+y (x,y∈R),求x+y的值.

【解析】(1)在△ABC中,=+,

4=3+,3(-)=-,

即3=,即点M是线段BC靠近B点的四等分点.

故△ABM与△ABC的面积之比为.

(2)因为=+,∥,

=x+y(x,y∈R),所以x=3y,

因为N为AB的中点,

所以=-=x+y-=+y,

=-=x+y-=x+(y-1),

因为∥,所以=λ,即+y=λx·+λ(y-1),

所以解得:2x+y=1,又x=3y,

所以x=,y=,所以x+y=.

1.已知=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,试判断A,B,C,D四点构成的图形.

【解析】因为=++=-8a-2b,所以=2.

若A,B,C三点共线,则存在实数λ,使=λ,

即a+2b=-4λa-λb,所以矛盾,

所以A,B,C三点不共线,故A,B,C,D四点不共线.所以∥,||=2||≠||,故A,B,C,D四点构成一个梯形.

2.(2020·哈尔滨高一检测)我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了,勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的,被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现,是中国古代数学的图腾,还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图,大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的,若=a,=b,E为BF的中点,则=              (　　)

A.a+b   B.a+b

C.a+b   D.a+b

【解析】

选A.设BE=m,则AE=BF=2BE=2m,在Rt△ABE中,可得AB=m.过点E作EH⊥AB于点H,则EH==m,EH∥AD,

AH==m.

所以AH=AB,HE=AD.所以=+=+=a+b.

【补偿训练】

在△ABC中,点P是AB上一点,且=+,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,又=t,则t的值为________. 

【解析】因为=+,

所以3=2+,

即2-2=-,所以2=,

即P为AB的一个三等分点,如图所示.

因为A,M,Q三点共线,所以=x+(1-x)=+(x-1),而=-,

所以=+.

又=-=-+,

由已知=t,

可得+=t,

又,不共线,所以解得t=.

答案: