高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.5 数学归纳法学案设计

5.5　数学归纳法

必备知识·素养奠基

数学归纳法

(1)概念:一个与自然数有关的命题,如果

只要完成这两个步骤,就可以断定命题对大于等于n0的所有自然数都成立.

(2)证明形式:

记P(n)是一个关于正整数n的命题.

条件:(1)P(n0)为真;(2)若P(k)(k∈N+,k≥n0)为真,则P(k+1)也为真.

结论:P(n)为真.

(1)验证的第一个值n0一定是1吗?

提示:不一定,如证明“凸n边形对角线的条数f(n)=”时,第一步应验证n=3是否成立.

(2)在第二步证明中,必须从归纳假设用综合法证明吗?

提示:不是,在归纳递推中,可以应用综合法、分析法、反证法、放缩法等各种证明方法.

1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)

(1)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明. (　　)

(2)不管是等式还是不等式,用数学归纳法证明时由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项. (　　)

(3)用数学归纳法证明等式“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,验证n=1时,左边式子应为1+2+22+23.              (　　)

提示:(1)×.也可以用其他方法证明.

(2)×.有的增加了不止一项.

(3)√.观察左边的式子可知有n+3项,所以验证n=1时,左边式子应为1+2+22+23.

2.已知f(n)=+++…+,则 (　　)

A.f(n)共有n项,当n=2时,f(2)=+

B.f(n)共有n+1项,当n=2时,f(2)=++

C.f(n)共有n2-n项,当n=2时,f(2)=+

D.f(n)共有n2-n+1项,当n=2时,f(2)=++

【解析】选D.结合f(n)中各项的特征可知,分子均为1,分母为n,n+1,…,n2的连续自然数共有n2-n+1个,且f(2)=++.

3.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N+)”的过程中,第二步n=k时等式成立,则当n=k+1时应得到              (　　)

A.1+2+22+…+2k-2+2k-1=2k+1-1

B.1+2+22+…+2k+2k+1=2k-1+2k+1

C.1+2+22+…+2k-1+2k+1=2k+1-1

D.1+2+22+…+2k-1+2k=2k+1-1

【解析】选D.因为将式子:1+2+22+…+2n-1=2n-1中n用k+1替换得:当n=k+1时,有1+2+22+…+2k-1+2k=2k+1-1.

关键能力·素养形成

类型一　用数学归纳法证明等式

【典例】用数学归纳法证明:1-+-+…+-=++…+,n∈N+.

【思维·引】等式的左边有2n项,右边有n项,左边的分母是从1到2n的连续正整数,末项与n有关,右边的分母是从n+1到n+n的连续正整数,首、末项都与n有关.

【证明】(i)当n=1时,左边=1-=,右边=,等式成立;

(ii)假设当n=k(k∈N+)时等式成立,即

1-+-+…+-

=++…+,那么当n=k+1时,

左边=1-+-+…+-+-=+-

=++…+++

=++…++

=右边,所以当n=k+1时等式也成立.

综合(i)(ii)知对一切n∈N+,等式都成立.

【内化·悟】

用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时的关键是什么?要注意什么?

提示:用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题,关键是第二步,要注意当n=k+1时,等式两边的式子与n=k时等式两边的式子的联系,增加了哪些项,减少了哪些项,问题就会顺利解决.

【类题·通】

数学归纳法证题的三个关键点

(1)验证是基础

找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定是1.

(2)递推是关键

数学归纳法的实质在于递推,所以从“k”到“k+1”的过程中,要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律,弄清由n=k到n=k+1时,等式的两边会增加多少项、增加怎样的项.

(3)利用假设是核心

在第二步证明n=k+1成立时,一定要利用归纳假设,即必须把归纳假设“n=k时命题成立”作为条件来导出“n=k+1”也成立,在书写f(k+1)时,一定要把包含f(k)的式子写出来,尤其是f(k)中的最后一项,这是数学归纳法的核心,不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.

【习练·破】

用数学归纳法证明:

+++…+=(n∈N+).

【证明】(i)当n=1时,左边==,

右边==.左边=右边,所以等式成立.

(ii)假设n=k(k∈N+且k≥1)时等式成立,即有

+++…+=,

则当n=k+1时,

+++…++

=+=

===.

所以当n=k+1时,等式也成立,

由(i)(ii)可知,对于一切n∈N+等式都成立.

【加练·固】

用数学归纳法证明12+32+52+…+(2n-1)2=n(4n2-1)(n∈N+).

【证明】(i)当n=1时,左边=12,

右边=×1×(4×1-1)=1,

左边=右边,等式成立.

(ii)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时,等式成立,

即12+32+52+…+(2k-1)2=k(4k2-1),

则当n=k+1时

12+32+52+…+(2k-1)2+(2k+1)2=k(4k2-1)+(2k+1)2

=k(2k+1)(2k-1)+(2k+1)2

=(2k+1)[k(2k-1)+3(2k+1)]

=(2k+1)(2k2+5k+3)=(2k+1)(k+1)(2k+3)

=(k+1)(4k2+8k+3)=(k+1)[4(k+1)2-1],

即当n=k+1时,等式成立.

由(i)(ii)可知,对一切n∈N+等式成立.

类型二　用数学归纳法证明不等式

【典例】求证:++…+>(n≥2,n∈N+).

【思维·引】由n≥2知n的初始值为2,在第二步可以应用分析法或放缩法证明.

【解析】(i)当n=2时,左边=+++=,故左边>右边,不等式成立.

(ii)假设当n=k(k≥2,k∈N+)时命题成立,即

++…+>,

则当n=k+1时,

++…++++=++…++++->+,*

方法一　(分析法)下面证*式≥,即

++-≥0,

只需证(3k+2)(3k+3)+(3k+1)(3k+3)+(3k+1)(3k+2)-3(3k+1)(3k+2)≥0,

只需证(9k2+15k+6)+(9k2+12k+3)+(9k2+9k+2)-(27k2+27k+6)≥0,

只需证9k+5≥0,显然成立.

所以当n=k+1时,不等式也成立.

方法二　(放缩法)*式>(3×-)+=,

所以当n=k+1时,不等式也成立.

由(i)(ii)可知,原不等式对一切n≥2,n∈N+均成立.

【内化·悟】

1.在什么条件下适合应用数学归纳法证明数学命题?

提示:当遇到与正整数n有关的不等式证明时,应用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法.

2.应用数学归纳法证明数学命题的关键是由n=k时成立得n=k+1时成立,这一步骤有哪些方法?

提示:主要方法有①放缩法;②利用基本不等式法;③作差比较法等.

【类题·通】

用数学归纳法证明不等式问题的四个关键点

【习练·破】

用数学归纳法证明:对一切大于1的自然数,不等式…>均成立.

【证明】(i)当n=2时,左边=1+=;右边=.

因为左边>右边,所以不等式成立.

(ii)假设当n=k(k≥2,且k∈N+)时不等式成立,

即…>.

则当n=k+1时,

…>·=

=>==.

所以当n=k+1时,不等式也成立.由(i)(ii)知,对于一切大于1的自然数n,不等式都成立.

【加练·固】

已知数列{an},an≥0,a1=0,+an+1-1=.

求证:当n∈N+时,an<an+1.

【证明】(i)当n=1时,因为a2是方程+a2-1=0的正根,所以a1<a2.

(ii)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时,0≤ak<ak+1,

则由-=(+ak+2-1)-(+ak+1-1)

=(ak+2-ak+1)(ak+2+ak+1+1)>0,

得ak+1<ak+2,即当n=k+1时,an<an+1也成立.

根据(i)和(ii),可知an<an+1对任何n∈N+都成立.

类型三　归纳-猜想-证明

【典例】在各项为正的数列{an}中,数列的前n项和Sn满足Sn=.

(1)求a1,a2,a3.

(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式,并且用数学归纳法证明你的猜想.

【思维·引】(1)数列{an}的各项均为正数,

且Sn=,所以可根据解方程求出a1,a2,a3.

(2)观察a1,a2,a3猜想出{an}的通项公式an,然后再证明.

【解析】(1)S1=a1=得=1.

因为an>0,所以a1=1,

由S2=a1+a2=,

得+2a2-1=0,所以a2=-1.

又由S3=a1+a2+a3=,

得+2a3-1=0,所以a3=-.

(2)猜想an=-(n∈N+)

证明:①当n=1时,a1=1=-猜想成立.

②假设当n=k (k∈N+)时猜想成立即ak=-,

则当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk

=-,即ak+1

=-

=-,所以+2ak+1-1=0,

所以ak+1=-.即n=k+1时猜想成立.

由①②知,an=-(n∈N+).

【素养·探】

本题运用了从特殊到一般的探索、归纳、猜想及证明的思维方式去探索和发现问题,并证明所得结论的正确性,这是非常重要的一种思维能力,在这类问题中经常用到的数学核心素养是逻辑推理.

已知f(n)=1++++…+,g(n)=-,n∈N+.

(1)当n=1,2,3时,试比较f(n)与g(n)的大小关系.

(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系,并给出证明.

【解析】 (1)当n=1时,f(1)=1,g(1)=1,

所以f(1)=g(1);当n=2时,f(2)=,g(2)=,

所以f(2)<g(2);当n=3时,f(3)=,g(3)=,

所以f(3)<g(3).

(2)由(1)猜想f(n)≤g(n),下面用数学归纳法给出证明.

①当n=1,2,3时,不等式显然成立.

②假设当n=k(k≥3,k∈N+)时不等式成立,

即1++++…+<-,那么,当n=k+1时,f(k+1)=f(k)+<-+,

因为-

=-=<0,

所以f(k+1)<-=g(k+1),

由①②可知,对一切n∈N+,都有f(n)≤g(n)成立.

【类题·通】

1.“归纳——猜想——证明”的解题步骤

2.“归纳——猜想——证明”解决的主要问题

(1)已知数列的递推公式,求通项公式或前n项和.

(2)由一些恒等式,不等式改编的一些探究性问题,求使命题成立的参数值是否存在.

(3)给出一些简单命题(n=1,2,3……),猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题.

提醒:①计算特例时,不仅仅是简单的算数过程,有时要通过计算过程发现数据的变化规律;②猜想必须准确,绝对不能猜错,否则将徒劳无功.③如果猜想出来的结论与正整数n有关,一般用数学归纳法证明.

【习练·破】

(2020·全国Ⅲ卷)设数列满足a1=3,an+1=3an-4n.

(1)计算a2,a3,猜想的通项公式并加以证明;

(2)求数列的前n项和Sn .

【解析】(1)由题意可得a2=3a1-4=9-4=5,

a3=3a2-8=15-8=7,

由数列的前三项可猜想数列是以3为首项,2为公差的等差数列,即an=2n+1,证明如下:当n=1时,a1=3成立;

假设n=k(k≥1,k∈N+)时,ak=2k+1成立.

那么n=k+1时,ak+1=3ak-4k=3(2k+1)-4k=2k+3=2(k+1)+1也成立.

则对任意的n∈N+,都有an=2n+1成立.

(2)由(1)可知,an·2n=(2n+1)·2n,

Sn=3×2+5×22+7×23+…+(2n-1)·2n-1+(2n+1)·2n,①

2Sn=3×22+5×23+7×24+…+(2n-1)·2n+(2n+1)·2n+1,②

由①-②得:-Sn=6+2×-(2n+1)·2n+1

=6+2×-(2n+1)·2n+1

=(1-2n)·2n+1-2,

即Sn=(2n-1)·2n+1+2.

课堂检测·素养达标

1.证明1++++…+>(n∈N+),假设n=k时成立,当n=k+1时,左端增加的项数是 (　　)

A.1  B.k-1  C.k　  D.2k

【解析】选D.当n=k时,不等式左端为1++++…+;当n=k+1时,不等式左端为1+++…+++…+,增加了+…+项,共(2k+1-1)-2k+1=2k项.

2.已知数列{an}的前n项和为Sn且Sn=2n-an(n∈N+),若已经算出a1=1,a2=,则猜想an等于 (　　)

A.  B.  C.  D.

【解析】选D.因为a1=1,a2=,

S3=1++a3=6-a3,所以a3=.

同理可得a4=.观察1,,,,…,

猜想an=.

3.已知f(n)=1+++…+(n∈N+).用数学归纳法证明f(2n)>,请补全证明过程:

(i)当n=1时,f(21)=1+>;

(ii)假设n=k时命题成立,即f(2k)>,则当n=k+1时,

f(2k+1)=f(2k)+________, 

即当n=k+1时,命题成立.

由(i)(ii)可知,对任意n∈N+,都有f(2n)>成立.

【解析】因为当n=k时,f(2k)=1+++…+>,

所以当n=k+1时,f(2k+1)=1+++…++++…+>+++…+>+=+=.

答案:++…+>+++…+>+=+=